Advanced Consumer Theory: Duality, Expenditure Function और Intertemporal Choice — Notes + 30 Solved Numericals | UGC NET / UP PGT

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Advanced Consumer Theory — Duality से आज और future की consumption तक

एक consumer problem को दो तरफ से देखिए: ₹100 मिले हैं तो सबसे अधिक satisfaction कैसे मिले? यही Utility Maximization है। एक तय satisfaction चाहिए तो सबसे कम कितने रुपये लगेंगे? यही Expenditure Minimization है। इन दोनों का संबंध द्वैतता (Duality) कहलाता है।

30 book-style solved numericals7 exact graphsहर solution की text explanationRoy • Shephard • Slutsky • Fisher

Syllabus connection: Uploaded UGC NET syllabus के Unit 1 में Theory of Consumer Behaviour और mathematical syllabus में optimization है। UP PGT में utility, indifference curves, demand और consumer behaviour हैं। Duality, matrix restrictions और intertemporal optimization को यहाँ advanced extensions के रूप में पढ़ें; uploaded syllabi इन सभी headings को अलग-अलग नहीं लिखते।

Practice status: ये original exam-oriented solved problems हैं। इन्हें verified official PYQs नहीं कहा गया है। ₹ वाले static examples में prices प्रति unit हैं; utility numbers ordinal हैं।

1. Basic setup — पहले notation समझें ⭐

X,Y quantities हैं; pₓ,pᵧ prices और m income है। Utility u(X,Y) preferences को represent करती है। सीमांत उपयोगिता (Marginal Utility) MUₓ=∂u/∂X और MUᵧ=∂u/∂Y। यहाँ MRSₓᵧ=MUₓ/MUᵧ है: एक extra X के लिए consumer कितना Y छोड़ सकता है। IC slope −MRSₓᵧ और budget slope −pₓ/pᵧ है।

Primal: v(p,m)=max u(x), subject to p·x≤m, x≥0। Choice x(p,m) = Marshallian demand।
Dual: e(p,ū)=min p·x, subject to u(x)≥ū, x≥0। Choice h(p,ū) = Hicksian demand।

Assumptions: Positive prices, continuous preferences/utility, feasible target और stable tastes। Local non-satiation का अर्थ: पास में कोई थोड़ा बेहतर bundle मिल सकता है; इससे optimum पर budget exhaust होता है। Strictly convex preferences unique demand सुनिश्चित करती हैं। Differentiation वाली identities के लिए relevant smoothness और well-defined optimum चाहिए।

Interior equilibrium: दोनों goods positive हों और usual convex preference conditions मिलें तो MRSₓᵧ=pₓ/pᵧ तथा pₓX+pᵧY=m। Corner या kink पर tangency formula को जबरदस्ती लागू न करें।

⚠️ Exam Trap: Convex preferences का मतलब utility function का convex होना नहीं। पसंद को quasi-concave utility represent करती है; concave utility sufficient है। Utility का increasing transformation choices नहीं बदलता, लेकिन utility labels और marginal utilities बदल सकते हैं।

2. किसने, कब और किस publication में?

Economist / year Publication Exam connection
Eugen Slutsky — 1915 Sulla teoria del bilancio del consumatore, Giornale degli Economisti Consumer price effect का substitution और income effects में decomposition। English title: On the Theory of the Budget of the Consumer।
J. R. Hicks + R. G. D. Allen — 1934 A Reconsideration of the Theory of Value, Economica; Part I, February; Part II, May Ordinal demand analysis और substitution-based consumer theory का development। Roy Allen और René Roy अलग economists हैं।
J. R. Hicks — 1939 Value and Capital, Clarendon Press / Oxford Ordinal theory, income–substitution analysis, consumer choice का systematic treatment।
René Roy — 1942 De l’utilité: contribution à la théorie des choix, Hermann Roy’s Identity से indirect utility के derivatives द्वारा Marshallian demand। यह standard textbook association है; सभी earlier mathematical precursors का “first inventor” दावा नहीं।
Ronald W. Shephard — 1953 Cost and Production Functions, Princeton University Press Duality और Shephard’s Lemma; consumer version में expenditure derivative से Hicksian demand। 1970 की Theory of Cost and Production Functions अलग later book है।
Irving Fisher — 1930 The Theory of Interest, Macmillan; subtitle: As Determined by Impatience to Spend Income and Opportunity to Invest It Present–future choice, impatience और investment opportunities; two-period model की प्रमुख historical association।
Paul A. Samuelson — 1937 A Note on Measurement of Utility, Review of Economic Studies 4(2), 155–161 Discounted-utility framework की महत्वपूर्ण early formulation। इसे Samuelson के 1938 revealed-preference paper से न मिलाएँ।

Memory trick: Slutsky 15, Fisher 30, Hicks–Allen 34, Samuelson discounting 37, Hicks book 39, Roy 42, Shephard 53। Roy → ordinary demand; Shephard → spending derivative → compensated demand।

3. Duality — same optimum, different question ⭐

Indirect Utility v(p,m) में utility maximization पहले ही हो चुकी होती है; अब input prices और income हैं। Expenditure Function e(p,ū) में target utility fixed है और सबसे सस्ता feasible bundle चुना जाता है। “Indirect” का अर्थ uncertain satisfaction नहीं है।

Compare Utility maximization Expenditure minimization
क्या fixed? Prices + income m Prices + target utility ū
Objective Maximum utility Minimum expenditure
Choice / value x(p,m) / v(p,m) h(p,ū) / e(p,ū)
Demand interpretation Ordinary / Marshallian Compensated / Hicksian
Scale all prices Income भी scale करें तो choice unchanged Target unchanged हो तो expenditure same proportion से बढ़े; Hicksian bundle unchanged
Duality identities — usual regular conditions पर:
e(p,v(p,m))=m; v(p,e(p,ū))=ū।
h(p,v(p,m))=x(p,m); x(p,e(p,ū))=h(p,ū)।
Demand multiple हो तो equality को solution sets के स्तर पर समझें।
One optimum: maximize utility or minimize costUtility square root XY, prices4,1. Target20. Minimum cost80 at10,40. Cheaper cost60 cannot achieve target; cost100 is not minimal.One optimum: maximize utility or minimize costQuantity of Y0204060801000510152025A (10,40)Cost 100Cost 80: cheapest feasibleCost 60: target unattainableIC: XY = 400Quantity of XTarget sqrt(XY) = 20; minimum expenditure = 80
Graph 1 / Numericals1,5: u=√XY,p=(4,1)। Target20 की IC XY400 है। Cost80 line पर A=(10,40) cheapest feasible point है। Cost60 target तक नहीं पहुँचती; cost100 target attain कर सकती है, पर minimum नहीं है।

Value functions की properties ⭐

  • v: prices और income को together scale करने पर degree 0: v(tp,tm)=v(p,m)। Income में increasing और prices में non-increasing; usual assumptions पर continuous और (p,m) में quasi-convex। Utility representation बदलने पर numerical v बदलता है।
  • e: prices में degree 1: e(tp,ū)=t e(p,ū)। Prices में non-decreasing, target utility में increasing; prices में concave। Target utility में हमेशा linear होने का rule नहीं।
  • x: (p,m) में degree 0। h: prices में degree 0, target utility fixed।

e prices में concave क्यों? हर fixed feasible bundle का cost prices का linear function है। Consumer इन costs में minimum चुनता है। Price change पर नए bundle में shift करने की flexibility minimum cost को fixed-bundle estimate से नीचे रख सकती है।

Expenditure is concave in prices: utility fixedTarget utility10, priceY1. Expenditure20sqrt(priceX). At priceX1 expenditure20, at9 expenditure60, at average price5 expenditure44.72 exceeds average expenditure40.Expenditure is concave in prices: utility fixedMinimum expenditure e02040600159(1,20)(9,60)e(5) = 44.72Chord value = 40Price of X (price Y = 1)e(5) = 20 sqrt(5) > [e(1) + e(9)] / 2 = 40
Graph 2: fixed targetū10,pᵧ1 पर e=20√pₓ। Prices1 और9 की average5 है; e(5)=20√5≈44.72≥(20+60)/2=40। Curve chord के ऊपर है: concavity in prices। This is not a demand curve।
⚠️ e concave in prices है; v को हमेशा concave कहना गलत। e और h के utility argument पर homogeneity का कोई universal degree नहीं। ₹ का double होना और satisfaction label का double होना अलग बातें हैं।

4. Roy’s Identity, Shephard’s Lemma और multipliers ⭐

Roy: xᵢ(p,m)=−(∂v/∂pᵢ)/(∂v/∂m), with ∂v/∂m>0।
Shephard: hᵢ(p,ū)=∂e(p,ū)/∂pᵢ, wherever the expenditure function is differentiable।
Budget adding-up: Σpᵢxᵢ=m; Σpᵢhᵢ=e(p,ū) (Euler’s theorem for degree 1 e)।

Lagrangian समझें: Primal L=u(x)+λ(m−p·x), इसलिए ∂v/∂m=λ और ∂v/∂pᵢ=−λxᵢ। Ratio लेते ही Roy मिलता है। Dual L=p·x+μ(ū−u(x)), इसलिए ∂e/∂ū=μ। Corresponding smooth interior optimum पर λμ=1। ये multipliers चुनी utility representation पर depend करते हैं।

⚠️ Minus केवल Roy में: v price बढ़ने पर गिरता है, इसलिए negative ratio से positive quantity आती है। Shephard में minus लगाना गलत। Price tie वाले perfect substitutes में e kinked हो सकता है; वहाँ ordinary derivative मौजूद नहीं, demand correspondence/one-sided analysis चाहिए।

5. Frequently asked utility functions — पहले type पहचानें

Utility / conditions Marshallian + v Expenditure + Hicksian
u=XᵃY¹⁻ᵃ, 0<a<1 X=am/pₓ; Y=(1−a)m/pᵧ। v=m aᵃ(1−a)¹⁻ᵃ/(pₓᵃpᵧ¹⁻ᵃ) e=ū pₓᵃpᵧ¹⁻ᵃ/[aᵃ(1−a)¹⁻ᵃ]; hₓ=ae/pₓ; hᵧ=(1−a)e/pᵧ
u=√XY (a=½) X=m/(2pₓ); Y=m/(2pᵧ); v=m/(2√pₓpᵧ) e=2ū√pₓpᵧ; hₓ=ū√(pᵧ/pₓ); hᵧ=ū√(pₓ/pᵧ)
u=XY Same demand as √XY; v=m²/(4pₓpᵧ) e=2√(ū pₓpᵧ); target ū is product-scale utility
u=aX+bY, a,b>0 Compare a/pₓ with b/pᵧ। Better utility per rupee वाले good पर खर्च। Tie: multiple optima e=ū min{pₓ/a,pᵧ/b}; choose cheaper utility-producing good
u=min{X,kY}, k>0 X=kY; X=m/(pₓ+pᵧ/k); Y=X/k e=ū(pₓ+pᵧ/k); hₓ=ū; hᵧ=ū/k
u=lnX+Y, pᵧ=1, Y≥0 If m≥1: X=1/pₓ, Y=m−1; v=−lnpₓ+m−1। If 0<m<1: X=m/pₓ,Y=0 Interior target: e=ū+1+lnpₓ, hₓ=1/pₓ, hᵧ=ū+lnpₓ; requires ū+lnpₓ≥0। Lower target: corner Y=0, X=exp(ū), e=pₓexp(ū)

Cobb–Douglas trick: Powers α,β हों तो shares α/(α+β), β/(α+β), जब α,β positive हों। Exponents का sum 1 नहीं दिया तो α को सीधे income share न मानें। Cobb–Douglas functional form production में भी मिलता है; consumer example को उसके original production paper का utility result न समझें।

Perfect substitutes: optimal choice is a cornerUtility2X+Y, prices3,2,income24. X gives2/3 utility per rupee, Y1/2. Optimal8,0 andutility16. BudgetY12-1.5X touches utility16 atcorner.Perfect substitutes: optimal choice is a cornerQuantity of Y048121604810A (8,0)IC: 2X + Y = 16Budget: 3X + 2Y = 24Quantity of X2/3 > 1/2 utility per rupee: buy X only
Graph 3 / Numerical9: u=2X+Y,prices(3,2),income24। Utility per rupeeX2/3,Y1/2; optimumA=(8,0)। Budget और targetIC corner पर मिलते हैं; interior tangency जरूरी नहीं।
Perfect complements: match X = 2Y at the kinkUtilityminimumX,2Y,prices4,2,income60. Targetutility12 hasLshapedcurve withkink12,6. BudgetY30-2X goes throughkink. Demand12,6.Perfect complements: match X = 2Y at the kinkQuantity of Y061218243006121518A (12,6)4X + 2Y = 60IC: utility 12Quantity of Xmin{X, 2Y} = 12 at (12,6); no smooth tangency required
Graph 4 / Numerical11: u=min{X,2Y},prices(4,2),income60। TargetIC12 की kinkA=(12,6) है। Required ratioX=2Y; X=Y नहीं। Vertical और horizontal arms target utility unchanged रखते हैं।

6. Compensation, Slutsky equation और matrix restrictions ⭐

Hicks compensation: old utility ū₀ बनाएँ; compensated income e(p¹,ū₀)। Slutsky compensation: old bundle की purchasing power रखें; compensated income p¹·x⁰। Finite price change में ये generally अलग bundles/incomes देते हैं। Local derivatives में standard Slutsky relation दोनों concepts को जोड़ती है।

∂xᵢ/∂pⱼ = ∂hᵢ/∂pⱼ − xⱼ∂xᵢ/∂m।
Recover substitution: Sᵢⱼ=∂hᵢ/∂pⱼ=∂xᵢ/∂pⱼ+xⱼ∂xᵢ/∂m, evaluated at ū=v(p,m)।
Elasticities: εᴴᵢⱼ=εᴹᵢⱼ+sⱼηᵢ; sⱼ=pⱼxⱼ/m, ηᵢ=(m/xᵢ)∂xᵢ/∂m।
Hicks compensation: keep old utility exactlyPriceX4 to1,priceY1,income80,utilitysqrtXY. OldA10,40; compensatedH20,20 on oldIC400; actualB40,40. Budgets80-4X,40-X,80-X.Hicks compensation: keep old utility exactlyQuantity of Y02040608001020406080A (10,40)H (20,20)B (40,40)Old: 4X + Y = 80New: X + Y = 80Hicks: X + Y = 40Old IC: XY = 400Quantity of XX: 10 -> 20 -> 40; Hicks substitution +10, income +20
Graph 5 / Numerical14: pₓ4→1,pᵧ1,m80,u=√XY। OldA10,40; HicksH20,20; actualB40,40। A और H एक ही IC XY400 पर हैं। OldX10→H20→actual40, इसलिए substitution+10,income+20।
  • Own compensated effect: Sᵢᵢ≤0। Normal good का income term ordinary slope को more negative करता है; inferior good में opposite effect हो सकता है। Giffen तभी जब ordinary own slope positive हो; compensated slope positive नहीं हो जाता।
  • Gross vs net: Marshallian cross effect gross substitution/complementarity है; Hicksian cross effect net है। Ordinary cross derivative zero होने पर compensated cross derivative zero होना जरूरी नहीं।
  • Slutsky matrix: e twice differentiable हो तो S=price Hessian of e। इसलिए symmetric, negative semidefinite और Sp=0। aᵀSa≤0 for every vector a। Positive prices के साथ Sp=0 होने से matrix singular है; full price matrix generally negative definite नहीं।
  • Adding-up: Σpᵢ∂xᵢ/∂m=1 ⇒ Σsᵢηᵢ=1। Demand homogeneity ⇒ Σⱼεᴹᵢⱼ+ηᵢ=0। Prices के weighted derivatives वाला equivalent: Σⱼpⱼ∂xᵢ/∂pⱼ+m∂xᵢ/∂m=0।
⚠️ Income correction में xⱼ आता है, xᵢ नहीं, जब price pⱼ बदली हो। Negative diagonal अकेले NSD का proof नहीं। Symmetric 2×2 matrix के लिए diagonals ≤0 और determinant ≥0 जाँचें। एक point पर local checks pass होना पूरे demand system की global rationalizability का proof नहीं।

CV / EV signs — यहाँ positive loss/gain convention

Price change, fixed income m CV EV
Rise; ū₀ old utility, ū₁ new utility Loss=e(p¹,ū₀)−m Loss=m−e(p⁰,ū₁)
Fall Gain=m−e(p¹,ū₀) Gain=e(p⁰,ū₁)−m

Books signed compensation amounts अलग तरह define कर सकती हैं; पहले sign convention देखें। Quasilinear interior region में affected good का income effect zero हो तो corresponding money welfare measures coincide कर सकते हैं। Corner cross हो तो blindly वही shortcut न लगाएँ।

7. Intertemporal Choice — आज खाएँ या future के लिए save करें?

c₁ आज की consumption, c₂ future consumption; y₁,y₂ respective incomes/endowment हैं। s=y₁−c₁: s>0 saver, s<0 borrower। Deterministic two-period model में same real borrowing/lending rate r, no initial assets, no taxes, no bequest और unrestricted credit मानें, जब तक question कुछ और न कहे। R=1+r, R>0।

c₂=y₂+R(y₁−c₁)।
Present value: c₁+c₂/R = y₁+y₂/R = W।
Future value: Rc₁+c₂=Ry₁+y₂।
Horizontal intercept W; vertical intercept RW; budget slope −R; line endowment (y₁,y₂) से गुजरती है।
Intertemporal budget: saving shifts consumptionTodayincome100,futureincome110,grossrealrate1.1. Budgetc2=220-1.1c1 passesendowment100,110. Consuming80today saves20andallows132future.Intertemporal budget: saving shifts consumptionFuture consumption c2060110132180220080100160200E (100,110)T (80,132)c2 = 220 – 1.1c1Current consumption c1c1 + c2/1.1 = 200; endowment E = (100,110)
Graph 6 / Numerical25: endowmentE100,110; R1.1,W200। Chosen exampleT80,132 means saving20। Intercepts200,220 हैं। Utility not specified, इसलिए T को optimum नहीं बताया गया।

r बढ़ने पर budget line endowment point के around rotate करती है। c₁ की opportunity cost बढ़ती है, इसलिए compensated substitution future consumption की ओर होता है। Saver के लिए return-income effect और substitution effect current consumption पर opposite हो सकते हैं; net saving/current consumption की direction preferences और endowments पर depend करती है।

Euler condition — interior optimum पर

U=u(c₁)+βu(c₂), β>0।
u′(c₁)=βR u′(c₂); MRS₁₂=u′(c₁)/[βu′(c₂)]=R।
β=1/(1+ρ), जहाँ ρ subjective discount rate है।
Log: u(c)=lnc ⇒ c₂=βR c₁; c₁=W/(1+β), c₂=βR W/(1+β)।
CRRA: u′(c)=c−σ, σ>0 ⇒ c₂/c₁=(βR)1/σ; EIS=1/σ। Given g=(βR)1/σ: c₁=W/(1+g/R), c₂=gc₁।

CRRA utility: c1−σ/(1−σ) for σ≠1; log for σ=1। βR>1 ⇒ growing consumption; βR=1 ⇒ equal consumption; βR<1 ⇒ declining consumption, under this unrestricted interior model। Consumption smoothing का मतलब हमेशा c₁=c₂ नहीं। β और r को एक ही parameter न समझें।

Borrowing restriction और unequal rates

No borrowing: c₁≤y₁। यदि unconstrained optimum c₁>y₁ हो तो boundary पर c₁=y₁,c₂=y₂ (इस two-period setup में)। Binding borrowing constraint पर Euler equality जरूरी नहीं: u′(c₁)≥βR u′(c₂), equality केवल non-binding/knife-edge case में।

r_b>r_l: saving side की slope −(1+r_l), borrowing side की slope −(1+r_b)। Endowment पर kink है। पहले saving-branch candidate में c₁≤y₁ और borrowing-branch candidate में c₁≥y₁ जाँचें। Interior kink optimum में MRS दोनों gross rates के बीच हो सकता है।

Different credit rates: endowment can be optimalLending10%,borrowing20%,incomes100,110,utilitylnc1+0.95lnc2. Savingbranchc2=220-1.1c1, borrowingbranchc2=230-1.2c1. ICthroughendowment slope-22/19 between-1.1,-1.2.Different credit rates: endowment can be optimalFuture consumption c2050110180220050100150200E (100,110)Saving side: R = 1.1Borrowing: R = 1.2IC through ECurrent consumption c1At E: 1.1 < MRS = 22/19 < 1.2; no trade in credit
Graph 7 / Numerical30: endowment100,110; lending10%,borrowing20%,β0.95। Saving side slope−1.1; borrowing side−1.2। Endowment पर IC slope−22/19≈−1.1579 दोनों slopes के बीच है; optimal consumption income-endowment ही है।
⚠️ Real vs nominal: Real quantities के intertemporal budget में real rate लगाएँ। Exact 1+r_real=(1+i_nominal)/(1+inflation); i−inflation केवल approximation है। उदाहरण: nominal15.5%, inflation5% ⇒ real10%, approximation10.5%। βR=1 में R gross rate है; βr=1 नहीं।

8. 30 numericals — किताब की तरह, हर step का मतलब

पहले question पढ़कर model पहचानें, फिर Given → Formula → numbered Solution → Final Answer → Text Explanation। Decimal rounding के साथ exact fractions भी दी गई हैं। पहले solution ढककर स्वयं कोशिश करें।

Numericals 1–8: Demand, Roy, Shephard and Duality

Numerical 1: Cobb–Douglas demand: पूरा equilibrium निकालें

प्रश्न (Question): u(X,Y)=√XY, pₓ=₹4, pᵧ=₹1 और income₹80 है। Optimal X,Y, utility और marginal utility of income निकालिए।

दिया गया (Given): p=(4,1), m=80; both goods desirable; smooth interior Cobb–Douglas preferences।

सूत्र / तरीका (Formula):
MRS=Y/X=pₓ/pᵧ; budget 4X+Y=80; v=m/(2√pₓpᵧ); λ=∂v/∂m।

हल (Solution):

  1. Step 1: MUₓ=(½)√(Y/X), MUᵧ=(½)√(X/Y), इसलिए MUₓ/MUᵧ=Y/X।
  2. Step 2: Y/X=4/1 ⇒ Y=4X। Budget में substitute करें:4X+4X=80।
  3. Step 3: 8X=80 ⇒ X=10; Y=40। दोनों positive हैं; expenditure 4×10+40=80।
  4. Step 4: u=√(10×40)=20; v=80/(2√4)=20।
  5. Step 5: λ=1/(2√4)=¼=0.25 utility-index units per extra rupee।

उत्तर (Final Answer): X*=10, Y*=40, v=20, λ=¼।

इसे शब्दों में समझें:

Consumer आधा income X पर और आधा Y पर खर्च करता है। X महँगा है, इसलिए उसकी quantity 10 और Y की40 है। λ satisfaction का chosen-index derivative है; इसे ₹0.25 या utility का universal cardinal measure न समझें।

Numerical 2: Unequal exponents: income shares पहचानें

प्रश्न (Question): u=X^(1/3)Y^(2/3), pₓ=3,pᵧ=2,m=90। Marshallian demand और indirect utility value निकालिए।

दिया गया (Given): a=⅓, 1−a=⅔; prices positive।

सूत्र / तरीका (Formula):
X=am/pₓ; Y=(1−a)m/pᵧ; v=u(X*,Y*)।

हल (Solution):

  1. Step 1: X पर खर्च=(⅓)×90=30; Y पर खर्च=(⅔)×90=60।
  2. Step 2: X=30/3=10; Y=60/2=30।
  3. Step 3: Budget check:3×10+2×30=30+60=90।
  4. Step 4: v=10^(1/3)×30^(2/3)=10×3^(2/3)≈20.8008।

उत्तर (Final Answer): X*=10,Y*=30; v=10×3^(2/3)≈20.8008।

इसे शब्दों में समझें:

Power 1/3 बताता है X का expenditure share एक-तिहाई है; quantity share नहीं। यदि function X²Y दिया होता, shares 2/3 और1/3 होते; power 2 को 200% share नहीं मानते।

Numerical 3: Roy’s Identity: indirect utility से demand

प्रश्न (Question): v(pₓ,pᵧ,m)=m/(2√pₓpᵧ) दिया है। pₓ=4,pᵧ=1,m=80 पर Roy’s Identity से X निकालिए।

दिया गया (Given): v=m/(2√pₓpᵧ); differentiate with the other arguments fixed।

सूत्र / तरीका (Formula):
X=−v_pₓ/v_m; v_m=1/(2√pₓpᵧ); v_pₓ=−m/(4pₓ^(3/2)√pᵧ)।

हल (Solution):

  1. Step 1: Income derivative:v_m=1/(2√4)=¼।
  2. Step 2: Price derivative:v_pₓ=−80/(4×4^(3/2)×1)=−80/32=−2.5।
  3. Step 3: Roy में minus रखें: X=−(−2.5)/(¼)=2.5×4=10।
  4. Step 4: General ratio simplify करने पर X=m/(2pₓ), ordinary demand मिलता है।

उत्तर (Final Answer): X=10; Roy से Marshallian demand प्राप्त हुई।

इसे शब्दों में समझें:

Price बढ़ने पर maximum utility घटती है, इसलिए price derivative negative है। Income derivative से normalize और बाहर minus लगाने पर positive quantity आती है। e_p वाले Shephard formula को यहाँ नहीं लगाना है।

Numerical 4: Joint homogeneity: prices और income तीन गुना

प्रश्न (Question): u=√XY के लिए पहले p=(4,1),m=80 था। अब p=(12,3),m=240 है। Demand और utility बदलेंगे?

दिया गया (Given): हर price और income को t=3 से multiply किया गया है।

सूत्र / तरीका (Formula):
x(tp,tm)=x(p,m); v(tp,tm)=v(p,m)।

हल (Solution):

  1. Step 1: New budget 12X+3Y=240 को3 से divide करें:4X+Y=80। Feasible bundles same हैं।
  2. Step 2: X_new=240/(2×12)=10; Y_new=240/(2×3)=40।
  3. Step 3: v_new=240/(2√(12×3))=240/12=20।
  4. Step 4: Old values X=10,Y=40,v=20 से compare करें: कोई real choice change नहीं।

उत्तर (Final Answer): Demand और utility unchanged: X=10,Y=40,v=20।

इसे शब्दों में समझें:

Nominal रुपये तीन गुना हैं, पर सभी prices भी तीन गुना हैं। Buying power वही है। Homogeneity degree 0 में prices और income दोनों scale होते हैं; केवल income बढ़ने का case इससे अलग है।

Numerical 5: Expenditure minimization: target utility की cost

प्रश्न (Question): u=√XY में targetū=20 और prices(4,1) हैं। Minimum expenditure, Hicksian demand और dual multiplier निकालिए।

दिया गया (Given): TargetXY≥400; pₓ=4,pᵧ=1; utility target attainable।

सूत्र / तरीका (Formula):
e=2ū√pₓpᵧ; hₓ=ū√(pᵧ/pₓ); hᵧ=ū√(pₓ/pᵧ); μ=e_ū।

हल (Solution):

  1. Step 1: hₓ=20√(1/4)=10; hᵧ=20√(4/1)=40।
  2. Step 2: Target check:√(10×40)=20।
  3. Step 3: Minimum cost e=4×10+40=80; alternatively 2×20×√4=80।
  4. Step 4: μ=2√4=4 money units per utility-index unit।
  5. Step 5: Corresponding primal λ=¼; λμ=(¼)×4=1।

उत्तर (Final Answer): e=₹80,h=(10,40), μ=4।

इसे शब्दों में समझें:

Question income नहीं देता; satisfaction target देता है। हमें उस target तक पहुँचने की cheapest खरीद ढूँढनी है। μ और λ reciprocal corresponding optimum और same utility representation पर हैं।

Numerical 6: Shephard’s Lemma: expenditure से compensated quantity

प्रश्न (Question): e(p,ū)=2ū√pₓpᵧ है। Prices(9,1),targetū=12 पर hₓ,hᵧ और total cost निकालिए।

दिया गया (Given): Target utility 12; prices 9 और1; e smooth at positive prices।

सूत्र / तरीका (Formula):
hₓ=e_pₓ=ū√(pᵧ/pₓ); hᵧ=e_pᵧ=ū√(pₓ/pᵧ)।

हल (Solution):

  1. Step 1: pₓ के respect में derivative: e_pₓ=12√(1/9)=4।
  2. Step 2: pᵧ के respect में derivative: e_pᵧ=12√9=36।
  3. Step 3: Cost=9×4+1×36=72। Direct e=2×12×3=72 भी मिलता है।
  4. Step 4: Utility check:√(4×36)=12, target exactly achieved।

उत्तर (Final Answer): hₓ=4,hᵧ=36; e=₹72।

इसे शब्दों में समझें:

Shephard में price derivative compensated quantity है। Price expensive होने पर utility target पाने के लिए X कम और Y ज्यादा चुना गया। यहाँ income fixed रखकर ordinary demand नहीं निकाली जा रही।

Numerical 7: Duality identities: two-way verification

प्रश्न (Question): u=√XY,p=(9,4),m=120। Verify e(p,v(p,m))=m और h(p,v(p,m))=x(p,m)।

दिया गया (Given): √(pₓpᵧ)=√36=6।

सूत्र / तरीका (Formula):
v=m/(2√pₓpᵧ); e(p,ū)=2ū√pₓpᵧ; h(p,ū)=(ū√(pᵧ/pₓ),ū√(pₓ/pᵧ))।

हल (Solution):

  1. Step 1: v=120/(2×6)=10। यह income 120 से attainable maximum utility है।
  2. Step 2: उसी target ū=10 की minimum cost e=2×10×6=120=m।
  3. Step 3: hₓ=10√(4/9)=20/3; hᵧ=10√(9/4)=15।
  4. Step 4: Marshallian X=120/18=20/3; Y=120/8=15। Demands coincide।
  5. Step 5: Reverse value:v(p,e)=120/12=10=ū।

उत्तर (Final Answer): दोनों duality identities verified; optimum(20/3,15)।

इसे शब्दों में समझें:

Maximum-utility problem से प्राप्त satisfaction को target बनाकर minimum-cost problem solve करें तो income वापस मिलती है। Duality दो अलग-अलग consumers की comparison नहीं, उसी preference और prices पर दो optimization problems का संबंध है।

Numerical 8: Utility transformation: labels बदलें, choices नहीं

प्रश्न (Question): Same preferences को u₁=√XY और u₂=XY से represent किया गया। p=(4,1),m=80 पर demands,utility labels और equivalent target की expenditure compare करें।

दिया गया (Given): u₂=(u₁)² is strictly increasing for nonnegative u₁।

सूत्र / तरीका (Formula):
Common demand=(m/(2pₓ),m/(2pᵧ)); e₁=2ū₁√pₓpᵧ; e₂=2√(ū₂pₓpᵧ)।

हल (Solution):

  1. Step 1: दोनों representations में optimum X=10,Y=40 है।
  2. Step 2: u₁=√400=20; u₂=400। Labels अलग हैं, bundle same है।
  3. Step 3: Equivalent targets ū₁=20 औरū₂=400 लें: e₁=2×20×2=80।
  4. Step 4: e₂=2√(400×4×1)=2×40=80।
  5. Step 5: दोनों formulas में target 20 डालना equivalent welfare comparison नहीं होगा।

उत्तर (Final Answer): Choice(10,40), equivalent expenditures₹80; utility labels 20 बनाम400।

इसे शब्दों में समझें:

Ordinal utility ranking महत्वपूर्ण है, अंक का आकार नहीं। Target satisfaction को नई representation में भी transform करना होगा। इसलिए utility square करने से consumer की actual minimum required money नहीं बदलती।

Numericals 9–13: Substitutes, Complements and Corners

Numerical 9: Perfect substitutes: corner solution

प्रश्न (Question): u=2X+Y,pₓ=3,pᵧ=2,m=24। Optimal bundle और targetū16 की minimum expenditure निकालिए।

दिया गया (Given): Utility per unit:X=2,Y=1; goods perfect substitutes।

सूत्र / तरीका (Formula):
Compare MUₓ/pₓ=2/3 with MUᵧ/pᵧ=1/2; e=ū min{pₓ/2,pᵧ}।

हल (Solution):

  1. Step 1: 2/3>1/2 ⇒ X more utility per rupee देता है।
  2. Step 2: पूरा income X पर:X=24/3=8,Y=0। Utility 2×8=16।
  3. Step 3: Cost per unit utility:X=3/2=1.5,Y=2। Minimum 1.5 चुनें।
  4. Step 4: e(target 16)=16×1.5=24; h=(8,0)।
  5. Step 5: MRS 2 जबकि price ratio 1.5 है। Equality नहीं, corner optimal है।

उत्तर (Final Answer): x=h=(8,0), v=16 और e(ū16)=₹24।

इसे शब्दों में समझें:

हर रुपये से X में अधिक satisfaction मिलती है, इसलिए Y खरीदना optimal नहीं। Straight IC होने पर smooth interior tangency ढूँढना इस question का मुख्य trap है।

Numerical 10: Price tie: multiple demands और derivative trap

प्रश्न (Question): u=X+Y,prices(2,2),income 20 हैं। Optimal demands कितनी हैं? target ū=10 पर e को pₓ में differentiate करके unique hₓ मिलेगा?

दिया गया (Given): Both goods give 1 utility per unit और price 2; X,Y≥0।

सूत्र / तरीका (Formula):
Budget: 2X+2Y=20 ⇒ X+Y=10; e(p,10)=10min{pₓ,pᵧ}।

हल (Solution):

  1. Step 1: हर nonnegative bundleX+Y=10 utility 10 देता है: जैसे(10,0),(5,5),(0,10)।
  2. Step 2: Target 10 की cost 2×10=20; entire segment cost-minimizing है।
  3. Step 3: pᵧ=2 fixed करें। pₓ<2 पर e=10pₓ, derivative 10; pₓ>2 पर e=20, derivative 0।
  4. Step 4: pₓ=2 पर left और right derivatives अलग हैं, इसलिए ordinary derivative मौजूद नहीं।
  5. Step 5: Hicksian demand at tie: hₓ∈[0,10],hᵧ=10−hₓ।

उत्तर (Final Answer): Multiple optima; e_pₓ undefined at price tie, unique hₓ नहीं।

इसे शब्दों में समझें:

दो goods equally cost-effective हों तो consumer का खर्च बाँटने का तरीका unique नहीं होता। Shephard की differentiable version को kink पर force नहीं करना है। One-sided derivatives switch होने वाली quantities बताती हैं।

Numerical 11: Perfect complements: kink का सही ratio

प्रश्न (Question): u=min{X,2Y},p=(4,2),m=60। X,Y,utility और expenditure function निकालिए।

दिया गया (Given): Useful matching condition X=2Y; excess of only one good utility नहीं बढ़ाता।

सूत्र / तरीका (Formula):
e(p,ū)=ū(pₓ+pᵧ/2); X=m/(pₓ+pᵧ/2); Y=X/2।

हल (Solution):

  1. Step 1: Target matching से Y=X/2। Budget 4X+2(X/2)=5X=60।
  2. Step 2: X=12,Y=6; utilitymin{12,12}=12।
  3. Step 3: e(p,ū)=ū(4+2/2)=5ū। Target 12 पर e=60।
  4. Step 4: hₓ=ū=12,hᵧ=ū/2=6; expenditure 4×12+2×6=60।

उत्तर (Final Answer): X=12,Y=6,u=12; e(p,ū)=5ū at these prices।

इसे शब्दों में समझें:

Formula min{X,2Y} में useful quantities X=2Y हैं, X=Y नहीं। Kink पर MRS ordinary derivative से नहीं मिलता; matching ratio और budget दोनों साथ solve करें।

Numerical 12: Quasilinear utility: interior और zero income effect

प्रश्न (Question): u=ln X+Y,pₓ=2,pᵧ=1,m=10। Demand,v और इस utility target की e निकालिए।

दिया गया (Given): X>0,Y≥0; income 10 is enough to buy interior X demand।

सूत्र / तरीका (Formula):
Interior:MRS=(1/X)/1=pₓ ⇒ X=1/pₓ; Y=m−1; v=m−1−ln pₓ; e(p,ū)=ū+1+ln pₓ।

हल (Solution):

  1. Step 1: MRS=1/X=2 ⇒ X=½। X cost 2×½=1।
  2. Step 2: बाकी income Y पर:Y=10−1=9। Both quantities feasible हैं।
  3. Step 3: v=ln(½)+9=9−ln 2≈8.3069।
  4. Step 4: Target ū=9−ln 2 की e=(9−ln 2)+1+ln 2=10। Hicksian Y=ū+ln 2=9≥0।
  5. Step 5: Interior region में ∂X/∂m=0; extra income Y में जाता है।

उत्तर (Final Answer): X=½,Y=9,v=9−ln 2; e=₹10।

इसे शब्दों में समझें:

Quasilinear का मतलब इस interior model में X की quantity income से independent है। यह shortcut तब तक है जब Y positive/feasible रहे। Utility में ln होने के कारण value negative भी हो सकती है; उससे economic satisfaction ranking invalid नहीं होती।

Numerical 13: Quasilinear low income: interior shortcut fail

प्रश्न (Question): उसी u=ln X+Y में pₓ=2,pᵧ=1,m=½ है। क्या X=½,Y=m−1 वाला interior formula चलेगा? सही bundle और v निकालिए।

दिया गया (Given): Income₹0.5; nonnegativityY≥0; interior desired X=½ costs₹1।

सूत्र / तरीका (Formula):
If 0<m<1: corner Y=0,X=m/pₓ; v=ln(m/pₓ)।

हल (Solution):

  1. Step 1: Interior guess X=½,Y=−½ देता है। Negative Y feasible नहीं।
  2. Step 2: Budget सेY=½−2X, इसलिए0<X≤¼। Utility f(X)=ln X+½−2X।
  3. Step 3: f′(X)=1/X−2; feasible range X≤¼ में derivative≥4−2=2>0।
  4. Step 4: Utility increasing है, इसलिए endpoint X=¼,Y=0 चुनें।
  5. Step 5: v=ln(¼)=−ln 4≈−1.3863। Target के corner expenditure 2exp(v)=2×¼=½।

उत्तर (Final Answer): X=¼,Y=0; v−ln 4। Interior formula लागू नहीं।

इसे शब्दों में समझें:

Consumer desired interior X afford नहीं कर सकता। Negative quantity छोड़कर feasible set में maximum ढूँढना जरूरी है। Quasilinear होने से हर income level पर X का income effect zero नहीं हो जाता।

Numericals 14–17: Compensation and Welfare

Numerical 14: Hicks price fall: substitution और income effects

प्रश्न (Question): u=√XY,m=80,pᵧ=1 और pₓ=4 से1 गिरता है। Hicks method से X में total,substitution और income effects निकालिए; Slutsky compensated bundle भी compare करें।

दिया गया (Given): Old pₓ=4; new pₓ=1; fixed actual income 80।

सूत्र / तरीका (Formula):
A=x(p⁰,m); H=h(p¹,u₀); B=x(p¹,m); SE=Hₓ−Aₓ; IE=Bₓ−Hₓ।

हल (Solution):

  1. Step 1: Old A=(10,40), u₀=20। New actual B=(40,40),u₁=40।
  2. Step 2: Hicks income e(new,u₀)=2×20√1=40। H=(20,20),utility 20 exactly।
  3. Step 3: SE=20−10=+10; IE=40−20=+20; total 40−10=+30。
  4. Step 4: Slutsky income=new prices·A=1×10+1×40=50। Its choiceS=(25,25),utility 25।
  5. Step 5: Slutsky SE=25−10=15,IE=40−25=15; both methods total 30 देते हैं, decomposition अलग है।

उत्तर (Final Answer): Hicks:SE+10,IE+20,TE+30; H20,20। Slutsky:S25,25।

इसे शब्दों में समझें:

Hicks consumer को old satisfaction 20 पर रखता है। Slutsky केवल old bundle affordable रखता है; उस budget में consumer नई choice से utility 25 पा सकता है। Finite change में compensation methods को interchangeable न मानें।

Numerical 15: Hicks price rise: negative effects का decomposition

प्रश्न (Question): u=√XY,m=80,pᵧ=1,pₓ=1 से4 बढ़ता है। Hicks SE,IE और total X effect निकालिए।

दिया गया (Given): Old prices(1,1); new prices(4,1); fixed income 80।

सूत्र / तरीका (Formula):
H=h(p¹,u₀); SE=Hₓ−Aₓ; IE=Bₓ−Hₓ।

हल (Solution):

  1. Step 1: Old A=(40,40), u₀=40। New actual B=(10,40),u₁=20।
  2. Step 2: Old utility 40 maintain करने की new price cost e=2×40√4=160।
  3. Step 3: Compensated Hₓ=40√(1/4)=20; Hᵧ=40√4=80; utility√1600=40।
  4. Step 4: SE=20−40=−20; IE=10−20=−10।
  5. Step 5: Total X change 10−40=−30; −20−10=−30 verified।

उत्तर (Final Answer): Hicks H=(20,80),SE−20,IE−10,TE−30।

इसे शब्दों में समझें:

Price rise X को relatively expensive बनाती है, इसलिए compensated substitution X कम करता है। Actual income compensation से₹80 कम है; normal X की demand और घटती है। SE और IE को नई quantity 10 समझना गलत; वे changes हैं।

Numerical 16: Price-rise welfare loss: CV और EV

प्रश्न (Question): u=√XY,m=80,pᵧ=1 और pₓ=1→4। Positive-loss convention में CV और EV निकालिए।

दिया गया (Given): Old utility u₀=40; new utility u₁=20; actual income 80।

सूत्र / तरीका (Formula):
CV_loss=e(p¹,u₀)−m; EV_loss=m−e(p⁰,u₁); e=2ū√pₓpᵧ।

हल (Solution):

  1. Step 1: New prices पर old utility की cost e(p¹,40)=2×40×2=160।
  2. Step 2: CV_loss=160−80=80। इतनी extra income price rise के बाद old satisfaction restore करेगी।
  3. Step 3: Old prices पर new utility की cost e(p⁰,20)=2×20×1=40।
  4. Step 4: EV_loss=80−40=40। Old prices पर₹40 लेना consumer को new lower satisfaction तक लाएगा।

उत्तर (Final Answer): CV loss₹80; EV loss₹40।

इसे शब्दों में समझें:

CV नई prices पर और EV पुरानी prices पर पूछा गया money adjustment है। Targets भी अलग हैं। ₹80 और₹40 का फर्क calculation error नहीं; normal-good income effects के साथ compensation bases अलग हैं।

Numerical 17: Price-fall welfare gain: sign convention साफ रखें

प्रश्न (Question): u=√XY,m=80,pᵧ=1,pₓ=4→1। Positive-gain convention में CV और EV निकालिए।

दिया गया (Given): Old utility 20,new utility 40; income unchanged 80।

सूत्र / तरीका (Formula):
CV_gain=m−e(p¹,u₀); EV_gain=e(p⁰,u₁)−m।

हल (Solution):

  1. Step 1: New prices पर old utility 20 की e=2×20×1=40।
  2. Step 2: CV_gain=80−40=40। Price fall के बाद₹40 वापस लेने पर old utility बचेगी।
  3. Step 3: Old prices पर new utility 40 की e=2×40×2=160।
  4. Step 4: EV_gain=160−80=80। Old prices पर इतनी extra money new utility दिलाती।

उत्तर (Final Answer): CV gain₹40; EV gain₹80।

इसे शब्दों में समझें:

Gain को यहाँ positive amount बताया है। कोई book CV में signed money transfer लिखती हो तो उसका sign अलग हो सकता है। Prices और utility target पहले लिखेंगे तो formula confuse नहीं होगा।

Numericals 18–24: Slutsky Matrix and Elasticity Restrictions

Numerical 18: Slutsky own-price derivative और elasticities

प्रश्न (Question): u=√XY,p=(4,1),m=80 पर X की ordinary और compensated own-price derivatives तथा elasticities निकालिए।

दिया गया (Given): X=10,Y=40; X=m/(2pₓ); ∂X/∂m=1/(2pₓ)=⅛।

सूत्र / तरीका (Formula):
Sₓₓ=X_pₓ+X X_m; εᴹₓₓ=(pₓ/X)X_pₓ; εᴴₓₓ=(pₓ/X)Sₓₓ।

हल (Solution):

  1. Step 1: Ordinary derivativeX_pₓ=−m/(2pₓ²)=−80/32=−2.5।
  2. Step 2: Income correctionX X_m=10×⅛=1.25।
  3. Step 3: Compensated Sₓₓ=−2.5+1.25=−1.25।
  4. Step 4: Ordinary elasticity(4/10)×(−2.5)=−1। Compensated elasticity(4/10)×(−1.25)=−½।
  5. Step 5: Income elasticity ηₓ=(80/10)×⅛=1; share sₓ=4×10/80=½। Check εᴴ=−1+½×1=−½।

उत्तर (Final Answer): Ordinary slope−2.5, compensated−1.25; elasticities−1 और−½।

इसे शब्दों में समझें:

Ordinary price rise में purchasing power भी गिरती है। Income effect हटाने पर compensated fall smaller है। Derivative quantities per price unit बताता है; elasticity percentage responsiveness है, दोनों numbers समान नहीं होने चाहिए।

Numerical 19: Gross independence, लेकिन net substitutes

प्रश्न (Question): उसी u=√XY,p=(4,1),m=80 में ordinary ∂X/∂pᵧ=0 है। क्या compensated cross effect भी zero है? दोनों cross effects निकालिए।

दिया गया (Given): X=10,Y=40; X_m=⅛,Y_m=½; ordinary cross derivatives दोनों0।

सूत्र / तरीका (Formula):
Sₓᵧ=X_pᵧ+Y X_m; Sᵧₓ=Y_pₓ+X Y_m।

हल (Solution):

  1. Step 1: X=m/(2pₓ) में pᵧ नहीं, इसलिए X_pᵧ=0।
  2. Step 2: Sₓᵧ=0+40×⅛=5। Changed price good Y की quantity 40 use हुई।
  3. Step 3: Y=m/(2pᵧ) में pₓ नहीं, इसलिए Y_pₓ=0। Sᵧₓ=0+10×½=5।
  4. Step 4: Compensated cross effects equal 5 और positive हैं। Ordinary effects 0 हैं।

उत्तर (Final Answer): Gross price independence; net substitution; Sₓᵧ=Sᵧₓ=5।

इसे शब्दों में समझें:

Fixed income पर Y की price बदलने से इस functional form में X की quantity नहीं बदलती। Utility fixed रखने को income adjust करें तो X response positive है। Gross और net classifications अलग compensation rules से आती हैं।

Numerical 20: Actual Slutsky matrix: symmetry, NSD और singularity

प्रश्न (Question): u=√XY,p=(4,1),m=80 की Slutsky matrix बनाकर symmetry,negative semidefiniteness और Sp=0 जाँचिए।

दिया गया (Given): Targetu=v=20; hₓ=u√(pᵧ/pₓ),hᵧ=u√(pₓ/pᵧ)।

सूत्र / तरीका (Formula):
S=Hessian_p e; for 2×2 symmetric S, nonpositive diagonal + determinant≥0 ⇒ NSD।

हल (Solution):

  1. Step 1: Sₓₓ=−1.25,Sₓᵧ=5,Sᵧₓ=5,Sᵧᵧ=−u√pₓ/(2pᵧ^(3/2))=−20।
  2. Step 2: S=[[-5/4,5],[5,−20]]। Off-diagonals equal, इसलिए symmetric।
  3. Step 3: Determinant(−5/4)(−20)−25=25−25=0; दोनों diagonals negative। इसलिए NSD।
  4. Step 4: Sp: first row(−5/4)×4+5×1=0; second 5×4−20×1=0।
  5. Step 5: Eigenvalues 0 और trace=−85/4=−21.25। Direction a=(1,2) पर aᵀSa=−5/4+20−80=−245/4=−61.25≤0।

उत्तर (Final Answer): S symmetric, NSD, singular; Sp=0; eigenvalues 0 और−21.25।

इसे शब्दों में समझें:

All prices proportionately बदलें तो Hicksian quantities unchanged हैं। इसी zero-response directionp के कारण price matrix में zero eigenvalue है। इसे negative definite कहना गलत होगा।

Numerical 21: Negative diagonal alone पर्याप्त नहीं

प्रश्न (Question): Candidate compensated matrix S=[[-2,3],[3,−2]], pricesp=(1,1) है। क्या यह standard smooth consumer theory के restrictions satisfy करती है?

दिया गया (Given): Matrix symmetric और own terms negative हैं। बाकी conditions check करनी हैं।

सूत्र / तरीका (Formula):
NSD requires aᵀSa≤0 every a; Sp=0 is compensated homogeneity condition।

हल (Solution):

  1. Step 1: Determinant 4−9=−5<0। Symmetric 2×2 matrix NSD नहीं हो सकती।
  2. Step 2: a=(1,1) लें: aᵀSa=−2+3+3−2=2>0। Direct violation।
  3. Step 3: Eigenvalues 1 और−5: एक positive है।
  4. Step 4: Sp=(1,1), zero vector नहीं; price homogeneity restriction भी fail।

उत्तर (Final Answer): Reject: NSD और Sp=0 दोनों fail, although diagonals negative हैं।

इसे शब्दों में समझें:

केवल own-price demands नीचे जा रही हों तो भी combined price-direction में compensated response wrong हो सकता है। Matrix question में diagonal देखते ही सही answer mark करना common trap है।

Numerical 22: Local integrability restrictions: सही candidate

प्रश्न (Question): CandidateS=[[-1,2],[2,−4]],p=(2,1)। Standard local Slutsky checks कीजिए। क्या ये अकेले full global demand system का proof हैं?

दिया गया (Given): Two-good local compensated derivative matrix।

सूत्र / तरीका (Formula):
Check symmetry, nonpositive diagonals, determinant≥0 और Sp=0।

हल (Solution):

  1. Step 1: Offdiagonals 2=2 ⇒ symmetry। Diagonals−1,−4≤0।
  2. Step 2: Determinant 4−4=0; eigenvalues 0 और−5 ⇒ NSD।
  3. Step 3: Sp: −1×2+2×1=0; 2×2−4×1=0।
  4. Step 4: इसलिए listed local restrictions pass हैं। पूरे domain में demand,regularity और consistency की जानकारी के बिना global conclusion नहीं दें।

उत्तर (Final Answer): Local matrix checks pass; full system globally rationalizable है, यह अकेले प्रमाणित नहीं।

इसे शब्दों में समझें:

यह matrix economically possible local compensated responses से मेल खाती है। लेकिन एक point का derivative data पूरा demand function नहीं है। Required conditions और sufficient global claims में फर्क रखें।

Numerical 23: Engel aggregation: unknown income elasticity

प्रश्न (Question): Two goods के budget shares sₓ=¼,sᵧ=¾ और X की income elasticity ηₓ=1.4 है। Budget exhaustion तथा differentiable demand मानकरηᵧ निकालिए।

दिया गया (Given): sₓ=0.25,sᵧ=0.75,ηₓ=7/5; prices fixed।

सूत्र / तरीका (Formula):
Σsᵢηᵢ=1 ⇒ sₓηₓ+sᵧηᵧ=1।

हल (Solution):

  1. Step 1: X contribution=(¼)×(7/5)=7/20=0.35।
  2. Step 2: Y contribution 1−7/20=13/20=0.65।
  3. Step 3: ηᵧ=(13/20)/(¾)=13/15≈0.8667।
  4. Step 4: Check 0.25×1.4+0.75×0.866666…=0.35+0.65=1।

उत्तर (Final Answer): ηᵧ=13/15≈0.8667; Y normal necessity in this local elasticity sense।

इसे शब्दों में समझें:

एक good luxury जैसाη>1 हो तो दूसरे की elasticity weighted average को1 बनाए रखती है। Simple ηₓ+ηᵧ=1 गलत है; shares से weight देना जरूरी है।

Numerical 24: Elasticity homogeneity और gross/net classification

प्रश्न (Question): X की ordinary own elasticity−0.8,income elasticity 1.2,और Y budget share 0.6 है। Two-good demand homogeneous degree 0 है। Ordinary cross और compensated cross elasticities निकालिए।

दिया गया (Given): εᴹₓₓ−4/5,ηₓ=6/5,sᵧ=3/5; sₓ=2/5। Quantities positive।

सूत्र / तरीका (Formula):
εᴹₓₓ+εᴹₓᵧ+ηₓ=0; εᴴₓᵧ=εᴹₓᵧ+sᵧηₓ।

हल (Solution):

  1. Step 1: Homogeneity से−0.8+εᴹₓᵧ+1.2=0 ⇒ εᴹₓᵧ=−0.4।
  2. Step 2: Income compensation term 0.6×1.2=0.72।
  3. Step 3: εᴴₓᵧ=−0.4+0.72=+0.32।
  4. Step 4: Own compensated elasticity−0.8+0.4×1.2=−0.32। Compensated row sum−0.32+0.32=0।

उत्तर (Final Answer): Ordinary cross−0.4: gross complements। Compensated cross+0.32: net substitutes।

इसे शब्दों में समझें:

Ordinary cross effect में real-income effect भी शामिल है। उसे हटाने पर sign बदल सकता है। Given elasticity restrictions से ये local calculations हैं; सिर्फ इस row से पूरा global demand system प्रमाणित नहीं किया गया।

Numericals 25–30: Intertemporal Choice, Saving and Borrowing

Numerical 25: Intertemporal budget: saving का future effect

प्रश्न (Question): Real incomes y₁=100,y₂=110 और interest rate 10% है। Present wealth, दोनों intercepts,slope और c₁=80 चुनने परc₂ तथा saving निकालिए।

दिया गया (Given): R=1.1=11/10; equal borrowing/lending rates; no initial assets।

सूत्र / तरीका (Formula):
W=y₁+y₂/R; c₂=y₂+R(y₁−c₁); s=y₁−c₁।

हल (Solution):

  1. Step 1: Future income का PV 110/1.1=100; W=100+100=200।
  2. Step 2: Horizontal intercept c₁max 200; vertical intercept c₂maxR W=1.1×200=220। Slope−1.1।
  3. Step 3: c₁=80 ⇒ saving 100−80=20।
  4. Step 4: Future consumption 110+1.1×20=132। PV check 80+132/1.1=80+120=200।

उत्तर (Final Answer): W=200,intercepts(200,0),(0,220),slope−1.1; s=20,c₂=132।

इसे शब्दों में समझें:

आज20 कम consume करने पर future में22 extra मिलते हैं। Budget line feasible choices बताती है; utility नहीं दी गई, इसलिएc₁80 को optimal नहीं कहा जा सकता।

Numerical 26: Log utility: complete two-period optimum

प्रश्न (Question): U=ln c₁+0.9ln c₂,y₁=100,y₂=110,r10%। Optimal consumptions और saving/borrowing step-by-step निकालिए।

दिया गया (Given): β=9/10,R=11/10,W=100+110/(11/10)=200। Unlimited credit।

सूत्र / तरीका (Formula):
Euler:c₂=βR c₁; c₁=W/(1+β); s=y₁−c₁।

हल (Solution):

  1. Step 1: FOCs:1/c₁=βR/c₂ ⇒ c₂=(9/10)(11/10)c₁=(99/100)c₁।
  2. Step 2: PV budget c₁+c₂/R=200 में substitute:c₁+βc₁=(19/10)c₁=200।
  3. Step 3: c₁=2000/19≈105.2632; c₂=(99/100)(2000/19)=1980/19≈104.2105।
  4. Step 4: Saving 100−2000/19=−100/19≈−5.2632 ⇒ borrow 5.2632 today।
  5. Step 5: Repayment R×100/19=110/19; c₂=110−110/19=1980/19 verified।

उत्तर (Final Answer): c₁=2000/19,c₂=1980/19; borrowing 100/19 today।

इसे शब्दों में समझें:

βR=0.99<1 होने से consumption थोड़ा decline करती है। Consumer आज income से ज्यादा खर्च करने के लिए futureincome के विरुद्ध loan लेता है। Consumption smoothing income बराबर करने या दोनों periods में exact equal consumption का universal rule नहीं।

Numerical 27: No borrowing: Euler equality क्यों नहीं?

प्रश्न (Question): U=ln c₁+ln c₂,y₁=50,y₂=165,r10% और borrowing prohibited है। Unconstrained तथा constrained optima compare करें।

दिया गया (Given): β=1,R=1.1,W=50+165/1.1=200; borrowing constraint c₁≤50।

सूत्र / तरीका (Formula):
Unrestricted: c₁=W/2,c₂=R c₁; binding no-borrowing constraint:u′(c₁)≥βR u′(c₂)।

हल (Solution):

  1. Step 1: Unrestricted optimum c₁=100,c₂=110। यहc₁≤50 violate करता है।
  2. Step 2: Feasible boundary c₁=50,c₂=165,save 0।
  3. Step 3: Along budget dU/d c₁=1/c₁−1.1/c₂। Boundary पर1/50−1.1/165=1/50−1/150=1/75>0।
  4. Step 4: Consumer c₁ और बढ़ाना चाहता है, लेकिन borrowing constraint रोकती है; feasible utility maximum इसी boundary पर है।
  5. Step 5: Euler inequality:1/50=0.02 >1.1/165≈0.006667। Equality नहीं।

उत्तर (Final Answer): Constrained c₁=50,c₂=165; unrestricted 100,110 infeasible।

इसे शब्दों में समझें:

Future income बहुत है, इसलिए consumer आज borrow करना चाहता है। Loan prohibition उसे current income तक सीमित करती है। यहाँ Euler equality लगाकर100 निकालना arithmetic सही लेकिन economic answer गलत होगा।

Numerical 28: CRRA model: EIS और consumption growth

प्रश्न (Question): U=u(c₁)+u(c₂),u(c)=−1/c अर्थातσ2; incomes 100,121 और real interest 21% है। Optimal consumption path,EIS और saving निकालिए।

दिया गया (Given): β=1,R=121/100; W=100+121/(121/100)=200; positive consumption।

सूत्र / तरीका (Formula):
c₂/c₁=(βR)^(1/σ)=g; EIS=1/σ; c₁=W/(1+g/R)।

हल (Solution):

  1. Step 1: u′(c)=1/c²। Euler 1/c₁²=R/c₂² ⇒ g=√1.21=1.1=11/10।
  2. Step 2: g/R=(11/10)/(121/100)=10/11। Budget c₁(1+10/11)=200।
  3. Step 3: c₁=200×11/21=2200/21≈104.7619; c₂=(11/10)c₁=2420/21≈115.2381।
  4. Step 4: Saving 100−2200/21=−100/21≈−4.7619; future loan repayment(121/100)(100/21)=121/21।
  5. Step 5: c₂=121−121/21=2420/21 verified; EIS=½।

उत्तर (Final Answer): Consumption growth 10%,c₁=2200/21,c₂=2420/21,EIS=½; borrow 100/21।

इसे शब्दों में समझें:

Interest 21% होने का मतलब consumption growth 21% नहीं। β और curvatureσ भी growth तय करते हैं। यहाँ square root लेने से growth 10% है; higherσ intertemporal substitution willingness कम करती है।

Numerical 29: Interest rise: endowment के साथ budget बदलता है

प्रश्न (Question): Log utilityU=ln c₁+ln c₂ और endowments y₁=y₂=100 हैं। r0 से25% होने पर optimal c₁,c₂,saving compare करें।

दिया गया (Given): β=1; real endowments fixed; unlimited borrowing/lending at same rate।

सूत्र / तरीका (Formula):
W=y₁+y₂/R; c₁=W/2; c₂=R c₁; s=y₁−c₁।

हल (Solution):

  1. Step 1: Old R=1 ⇒ W=200,c₁=100,c₂=100,s=0।
  2. Step 2: New R=1.25 ⇒ future income PV 100/1.25=80; W=180।
  3. Step 3: New c₁=180/2=90; c₂=1.25×90=112.5。
  4. Step 4: New saving 100−90=10। Future check 100+1.25×10=112.5।
  5. Step 5: Changes: Δc₁=−10,Δc₂=+12.5,Δs=+10। Endowment(100,100) remains on both budget lines।

उत्तर (Final Answer): r rise के बादc₁90,c₂=112.5,s=10; पहले100,100,s=0।

इसे शब्दों में समझें:

Future income का present value rate बढ़ने पर घटता है, इसलिए W को200 fixed रखना गलत होगा। इस specified log model में saving बढ़ती है। सभी preferences और endowments के लिए universal saving-rise rule इससे नहीं निकलता।

Numerical 30: Different borrowing/lending rates: kink optimum

प्रश्न (Question): U=ln c₁+0.95ln c₂,y₁=100,y₂=110। Lending rate 10%,borrowing rate 20% है। दोनों branch candidates जाँचकर optimum निकालिए।

दिया गया (Given): β=19/20; R_l=11/10; R_b=6/5। Saving branch c₁≤100; borrowing branch c₁≥100।

सूत्र / तरीका (Formula):
Branch candidate c₁=[y₁+y₂/R]/(1+β); at kink R_l≤MRS≤R_b।

हल (Solution):

  1. Step 1: Saving branch W_l=100+110/1.1=200 ⇒ candidate c₁=200/(39/20)=4000/39≈102.5641। यह saving branch c₁≤100 से बाहर है।
  2. Step 2: Borrowing branch W_b=100+110/1.2=100+275/3=575/3। Candidate c₁=(575/3)/(39/20)=11500/117≈98.2906। यह borrowing branch c₁≥100 से बाहर है।
  3. Step 3: Endowment E=(100,110) परMRS=(1/100)/(0.95/110)=110/95=22/19≈1.1579।
  4. Step 4: 1.1<1.1579<1.2 ⇒ MRS feasible kink slopes के बीच है। Saving सेc₁ बढ़ाने पर utility बढ़ती है; borrowing शुरू करते हीc₁ बढ़ाने की marginal cost ज्यादा हो जाती है।
  5. Step 5: Strictly concave utility और convex kinked feasible set में unique optimum E है; s=100−100=0।

उत्तर (Final Answer): Optimum c₁=100,c₂=110; neither borrowing nor saving।

इसे शब्दों में समझें:

दो interest rates हों तो एक straight budget line बनाकर answer नहीं मिलता। हर branch का calculated candidate उसी branch में feasible होना चाहिए। दोनों candidates गलत side पर हैं, इसलिए endowment kink optimal है; वहाँ एक rate के साथ tangency equality जरूरी नहीं।

9. Final revision table ⭐

Question clue Use this Trap / memory
Maximum satisfaction, income fixed x(p,m),v(p,m) Marshallian = Money fixed
Minimum cost, utility fixed h(p,ū),e(p,ū) Hicksian = Happiness target fixed
Recover ordinary demand −v_p/v_m Roy का minus
Recover compensated demand e_p Shephard spending slope; plus
All prices ×t e×t; h same at ū e degree1, h degree0
Prices + income ×t x,v unchanged Both degree0 jointly
Compensated effects matrix S symmetric, NSD, Sp=0 Negative diagonal alone insufficient
Recover Sᵢⱼ xᵢ,pⱼ+xⱼxᵢ,m Income term uses changed-price good j
Income elasticity adding-up Σsᵢηᵢ=1 Weighted average; simple sum नहीं
Current–future budget c₁+c₂/R=y₁+y₂/R Future money divide by gross R
Euler condition u′₁=βR u′₂ Interior, credit constraints checked
Log intertemporal utility c₁=W/(1+β), c₂=βRc₁ Smoothing ≠ always equal consumption
CRRA Consumption ratio c₂/c₁=(βR)1/σ EIS=1/σ
Different borrowing/lending rates Two branches + kink Candidate की branch feasibility जाँचें
Previous Topic: Revealed Preference Theory + 30 Solved Numericals →

Choice data, affordability और WARP/SARP/GARP revise करके duality से connection जोड़ें।

Primary sources / publication records

Mathematical models और examples इस lesson के लिए independently worked हैं। Theory और historical publication details के लिए:

Coverage based on the two uploaded syllabus PDFs; “advanced extension” labels indicate added preparation depth, not an independently listed heading or verified PYQ frequency.

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