MICROECONOMICS • UGC NET ECONOMICS / UP PGT
Revealed Preference — choices से preferences समझें
प्रकट वरीयता (Revealed Preference) का आसान idea: consumer क्या कहती हैं उससे आगे जाकर देखें कि उन्होंने available और affordable alternatives में क्या चुना। A चुना, B भी खरीद सकती थीं, फिर भी B नहीं चुना—तो A की B पर revealed ranking मिलती है।
Syllabus connection: UP PGT के Consumer Behaviour में प्रकट अधिमान सिद्धांत explicitly शामिल है। UGC NET में यह Theory of Consumer Behaviour के अंतर्गत पढ़ें। Afriat, matrix closure और advanced welfare tests को NET-level extensions के रूप में दिया गया है; uploaded syllabi इन्हें अलग-अलग named headings में नहीं लिखते।
1. Basic idea, notation और assumptions ⭐
Bundle = goods की quantities का combination; जैसे A=(4,2) में X की4 और Y की2 units। Price vector p=(2,1) में X की price2 और Y की price1। Bundle A का खर्च p·A=2×4+1×2=10। Budget set में p·x≤m वाले available bundles आते हैं। Line पर equality, अंदर strict inequality, बाहर cost>m।
Strict affordability relation: A Pᴰ B अगर pᴬ·B<pᴬ·A।
Indirect revealed preference: A Rᴰ B, B Rᴰ C … ऐसी chain से A R C।
Income की जगह chosen expenditure क्यों? Standard model में positive prices और local nonsatiation से consumer पूरा budget spend करती हैं, इसलिए m=p·x। अगर observed data में budget slack हो, savings/outside good या satiation हो, पहले उसकी वजह समझें; expenditure को actual income का substitute बिना justification न मानें। इस post के numerical datasets में budget exhaustion स्पष्ट रूप से लिया गया है।
Local nonsatiation (स्थानीय अतृप्ति): किसी bundle के बहुत पास कोई better bundle मिल सकता है। यह “हर good की हर extra unit हमेशा सुख देती है” से अलग, कमजोर condition है। इसके साथ strictly affordable rejected bundle, chosen bundle से strictly worse होगा: थोड़ी-सी budget slack से nearby improvement खरीद सकते थे।
| Assumption | Simple meaning |
|---|---|
| Stable preferences | Observations के बीच taste/quality/context में ऐसा change नहीं जो ranking बदल दे। |
| Feasible alternatives known | B उपलब्ध भी था और buying restrictions से बाहर भी नहीं था। केवल listed price पर्याप्त नहीं। |
| Choice is optimizing | Observed choice अपने budget में preferred विकल्प है; utility को पहले measure करना आवश्यक नहीं। |
| Prices positive; quantities nonnegative | Standard finite-data Afriat setting। |
| Uniqueness / ties | Textbook single-valued WARP/SARP में अलग choices की reversals रोकी जाती हैं। GARP ties और multiple maximizers allow करता है। |
2. किसने, कब, किस publication में दिया? ⭐
| Economist / year | Book / paper / journal | Contribution |
|---|---|---|
| Paul A. Samuelson — 1938 | A Note on the Pure Theory of Consumer’s Behaviour, Economica,5(17),61–71। | Observed choices पर consumer theory का शुरुआती revealed-preference programme; WARP से जुड़ा मुख्य नाम। |
| Samuelson — 1948 | Consumption Theory in Terms of Revealed Preference, Economica,15(60),243–253। | Revealed-preference approach का आगे विकास। 1938 का origin और 1948 का paper अलग रखें। |
| Samuelson — 1947 | Foundations of Economic Analysis (book)। | व्यापक mathematical economics का प्रमुख ग्रंथ; RP की original1938 publication इस book को न बताएं। |
| Hendrik S. Houthakker — 1950 | Revealed Preference and the Utility Function, Economica,17(66),159–174। | SARP और revealed preference–utility representation के संबंध का प्रमुख विकास। |
| S. N. Afriat — 1967 | The Construction of Utility Functions from Expenditure Data, International Economic Review,8(1),67–77। | Finite expenditure data से utility rationalization और constructive inequality approach। |
| Hal R. Varian — 1982 | The Nonparametric Approach to Demand Analysis, Econometrica,50(4),945–973। | GARP formulation और nonparametric demand analysis। |
| Varian — 1983 | Non-Parametric Tests of Consumer Behaviour, Review of Economic Studies,50(1),99–110। | Finite-data tests, inequalities और computational application को व्यवस्थित किया। |
Memory trick: Samuelson38 → Houthakker50 → Afriat67 → Varian82। Names को काम से जोड़ें: Samuelson = observed Selection; Houthakker = Strong chains; Afriat = inequalities; Varian = GARP और data tests।
3. WARP, SARP और GARP को कैसे अलग करें? ⭐
WARP — Weak Axiom of Revealed Preference
इस post में basic exam questions के लिए single-valued / unique-choice textbook convention है: अलग bundles A और B में A Rᴰ B मिला, तो B chosen observation में A affordable नहीं होना चाहिए। यानी pairwise reverse choice रोकें।
दो cross-costs निकालें; दोनों bundles एक-दूसरे की chosen expenditure के भीतर हों तो इस convention में violation।
SARP — Strong Axiom of Revealed Preference
SARP direct और indirect दोनों reversals रोकता है। A R B किसी chain से मिला और A≠B, तो B Rᴰ A नहीं होना चाहिए। A→B→C→A जैसे लंबे cycles भी forbidden हैं। SARP इस convention में WARP imply करता है; WARP generally SARP imply नहीं करता। Numerical11 का counterexample तीन goods में है।
GARP — Generalized Axiom of Revealed Preference
A R B की weak chain के बाद B वाला budget A को strictly cheaper नहीं बना सकता। Pure weak ties स्वीकार हो सकती हैं; cycle में कोई strict affordability हो तो violation बनता है।
Violation: A R B तथा pᴮ·A<pᴮ·B। यही B Pᴰ A है।
| Axiom | क्या check करें? | Ties / cycles |
|---|---|---|
| WARP, stated convention | हर pair की direct affordability | Distinct bundles में mutual weak direct edges forbidden। |
| SARP | Chains और distinct-bundle reverse edges | Weak cycles भी forbidden। |
| GARP | Weak chains + strictly affordable reverse edge | Only weak cycle allowed; strict edge वाला cycle forbidden। |
4. Numerical solve करने की सबसे तेज method ⭐
- Costs: Eₜₛ=pᵗ·xˢ की matrix बनाएं। Row=एक observation की prices; column=एक bundle।
- Diagonal: Eₜₜ chosen expenditure है। उसी row के अन्य costs को इस diagonal से compare करें।
- Arrows: Eₜₛ≤Eₜₜ तो t→s; strict < हो तो arrow को strict mark करें। Self-edge को violation न गिनें।
- WARP: distinct pairs में दोनों तरफ direct arrows हैं या नहीं?
- Closure: A→B और B→C को जोड़कर indirect A→C भी mark करें।
- SARP / GARP: SARP में distinct cycle; GARP में weak chain के बाद strict reverse affordability देखें।
Memory trick — C–D–A–C: Cost matrix → Diagonal → Arrows → Cycles। Graph में चुना point budget line पर रखें, फिर दूसरे chosen point को उसी budget में देखें। Budget lines intersect करना अकेले violation नहीं है।
5. Demand law, Slutsky compensation और Giffen trap ⭐
पुरानी choice x⁰ है। Prices p⁰ से p¹ हो जाएँ तो Slutsky-compensated income mˢ=p¹·x⁰ रखें: old bundle नई prices पर just affordable होगा। Income adjustment Δm=(p¹−p⁰)·x⁰ है। फिर xˢ=x(p¹,mˢ) और actual fixed-income choice x¹=x(p¹,m⁰) तुलना करें।
Compensated law: (p¹−p⁰)·(xˢ−x⁰)≤0।
केवल X की price बदली तो (pₓ¹−pₓ⁰)(xₓˢ−xₓ⁰)≤0।
Why? New compensated budget पर old bundle उपलब्ध है, इसलिए नई choice old choice से weakly revealed preferred है। Rational consistency और budget exhaustion से नई choice पुराने budget में strictly अंदर नहीं हो सकती। दोनों budget equalities को घटाने पर compensated dot-product inequality मिलती है। Unique-choice WARP में अलग chosen bundle हो तो dot product strictly negative होगा; tie-permitting GARP में zero भी possible है। इसलिए ≤0 sign alone को strict-WARP का complete test न मानें।
| Slutsky compensation | Hicks compensation |
|---|---|
| Old bundle की purchasing power unchanged | Old utility level unchanged |
| mˢ=p¹·x⁰ | mʰ=e(p¹,u⁰), minimum expenditure to reach old utility |
| Finite price change पर reoptimized utility old level से अधिक हो सकती है | Compensated optimum old indifference curve पर रहता है |
| पहले old bundle को price करें | Expenditure minimization problem solve करें |
∂xᵢ/∂pⱼ = ∂hᵢ/∂pⱼ − xⱼ(∂xᵢ/∂m)।
Own-price: ∂hₓ/∂pₓ = ∂x/∂pₓ + x(∂x/∂m) ≤0 under standard utility-maximization conditions।
Normal good: ∂x/∂m>0; ordinary own-price response nonpositive। Inferior good: ∂x/∂m<0; positive ordinary income-effect component price rise में possible। Giffen good: inferior income effect negative substitution effect से अधिक हो, तो ordinary demand ऊपर झुक सकती है। Giffen ⇒ compensated demand upward गलत है। Finite Slutsky और Hicks decompositions अलग हो सकती हैं; infinitesimal substitution derivatives coincide।
6. Revealed welfare और price indices
New choice के समय old bundle affordable है तो new bundle revealed no worse है। Old choice के समय new bundle affordable था तो old bundle revealed no worse है। Strict affordability plus local nonsatiation से strict welfare ranking मिलती है। दोनों cross-bundles बाहर हों तो direct ranking नहीं; linking observations के बिना data silent रह सकता है।
m¹/m⁰≥Pᴸ ⇒ old bundle new budget में affordable ⇒ x¹ Rᴰ x⁰।
Paasche Pᴾ=(p¹·x¹)/(p⁰·x¹), current quantities।
m¹/m⁰≤Pᴾ ⇒ new bundle old budget में affordable ⇒ x⁰ Rᴰ x¹।
Ratio index को base100 चाहिए तो ×100 करें; incomes=chosen expenditures assumed।
ये sufficient affordability-based comparisons हैं। Index test से ranking न मिले तो “welfare unchanged” नहीं कहें। RP ordinal welfare rankings देता है; utility के cardinal rupee differences या exact Consumer Surplus अपने-आप नहीं देता।
7. Afriat’s theorem: data से utility की existence ⭐ NET extension
Finite dataset, strictly positive prices और budget-exhausting choices के standard setting में: GARP pass ⇔ positive multipliers के साथ Afriat inequalities feasible ⇔ continuous, increasing, concave utility से data rationalize किया जा सकता है। Rationalize = हर observation का chosen bundle अपने budget पर utility maximizer हो।
Uˢ ≤ Uᵗ + λᵗpᵗ·(xˢ−xᵗ), λᵗ>0।
Constructed utility:
u(z)=minₜ{Uᵗ+λᵗpᵗ·(z−xᵗ)}।
Intuition: हर observed choice से utility की एक supporting plane बनाएं; उनका lower envelope यानी minimum लें। U levels की normalization arbitrary है; U negative हो सकते हैं। λ positive होना जरूरी है। एक feasible certificate rationalizability साबित करता है; एक गलत guessed λ set fail होने से whole data fail साबित नहीं होता। GARP pass यह भी नहीं कहता कि true utility concave ही थी, केवल ऐसा rationalizer exist करता है।
Limitations: Stable tastes, correct prices/quantities और full feasible set की जानकारी महत्वपूर्ण है। Quality change, rationing, missing goods या recording errors violations का कारण बन सकते हैं। GARP pass से true preferences और unseen-budget demand uniquely identified नहीं होते। Theory observed choices से testable restrictions बनाती है; utility representation को हमेशा के लिए हटाने का दावा नहीं करती।
8. 30 Book-style Solved Numericals
हर question में Given → Formula → numbered Solution → Final answer → इसे शब्दों में समझें दिया है। ये UGC NET / UP PGT की तैयारी के लिए original exam-oriented practice numericals हैं; verified official PYQ के रूप में label नहीं किए गए हैं। पहले खुद cost matrix या formula लिखें, फिर solution पढ़ें।
Numericals 1–8: Costs, Affordability and WARP
Numerical 1: Bundle का खर्च निकालना
प्रश्न (Question): दो goods X और Y की prices ₹4 और ₹2 हैं। Bundle A में X की 3 तथा Y की 5 units हैं। A का total cost कितना है?
दिया गया (Given): p=(4,2); A=(3,5)। Price vector में पहले X, फिर Y की price है।
p·A = pₓAₓ + pᵧAᵧ।
हल (Solution):
- Step 1: X का खर्च = 4×3 = ₹12।
- Step 2: Y का खर्च = 2×5 = ₹10।
- Step 3: Total cost = 12+10 = ₹22।
उत्तर (Final answer): Bundle A की cost = ₹22।
Dot product का मतलब corresponding prices और quantities को multiply करके जोड़ना है। दो coordinates को आपस में multiply नहीं करना है। Revealed preference के लगभग हर numerical का पहला step यही cost calculation है।
Numerical 2: कौन-सा rejected bundle affordable था?
प्रश्न (Question): p=(2,1), income ₹10 पर A=(4,2) चुना गया। B=(2,3), C=(5,2) और D=(1,8) में किन पर A directly revealed preferred है?
दिया गया (Given): Chosen A की cost=2×4+1×2=₹10; सभी bundles available हैं।
A Rᴰ Z अगर p·Z ≤ p·A। Strict affordability में p·Z < p·A।
हल (Solution):
- Step 1: B की cost=2×2+3=₹7; 7<10, इसलिए A Rᴰ B और comparison strict है।
- Step 2: C की cost=2×5+2=₹12; 12>10, इसलिए C affordable नहीं था।
- Step 3: D की cost=2×1+8=₹10; 10≤10, इसलिए A Rᴰ D, लेकिन strict affordability नहीं है।
उत्तर (Final answer): A directly revealed preferred to B और D; C के साथ इस observation से ranking नहीं मिलती।
Consumer ने A तब चुना जब B और D भी खरीद सकती थीं। C उस budget के बाहर था; उसे reject करना पसंद का प्रमाण नहीं है। Boundary पर cost बराबर होने से weak comparison मिलता है, strict utility ranking अपने-आप नहीं।
Numerical 3: Budget boundary पर equality
प्रश्न (Question): p=(2,1), income ₹10 पर A=(3,4) चुना गया। B=(4,2) rejected था। क्या A strictly revealed preferred है?
दिया गया (Given): A=(3,4); B=(4,2); p=(2,1); दोनों available।
Weak direct RP: p·B≤p·A; strict direct RP: p·B<p·A।
हल (Solution):
- Step 1: A की cost=2×3+4=₹10।
- Step 2: B की cost=2×4+2=₹10।
- Step 3: 10≤10 सही है, लेकिन 10<10 गलत है।
उत्तर (Final answer): A Rᴰ B मिलता है; strict affordability वाला A Pᴰ B नहीं मिलता।
दो bundles एक budget line पर होने का मतलब दोनों equally affordable थे। इससे वे निश्चित रूप से indifferent भी नहीं कहलाते। GARP framework में observed choice weak ranking बताती है; strict preference के लिए अतिरिक्त evidence या unique optimum की assumption चाहिए।
Numerical 4: Unaffordable alternative से ranking नहीं
प्रश्न (Question): p=(2,1), income ₹10 पर A=(4,2) चुना गया। B=(2,7) नहीं चुना गया। क्या A Rᴰ B निष्कर्ष सही है?
दिया गया (Given): Chosen A=(4,2), B=(2,7), p=(2,1), m=10।
Affordability test: p·B≤m।
हल (Solution):
- Step 1: A की cost=2×4+2=₹10।
- Step 2: B की cost=2×2+7=₹11।
- Step 3: 11>10; B खरीदना संभव नहीं था।
उत्तर (Final answer): नहीं। इस observation से A Rᴰ B नहीं मिलता।
“A खरीदा, B नहीं खरीदा” अकेले पर्याप्त नहीं है। B available और affordable भी होना चाहिए। Budget restriction को taste समझ लेना इस topic की सबसे common गलती है।
Numerical 5: दो observations: WARP pass
प्रश्न (Question): Observation 1: pᴬ=(2,1), chosen A=(4,2)। Observation 2: pᴮ=(1,1), chosen B=(2,3)। Textbook unique-choice WARP जाँचिए।
दिया गया (Given): mᴬ=10; mᴮ=5; A और B अलग bundles हैं।
अगर A Rᴰ B, तो WARP के लिए pᴮ·A > pᴮ·B होना चाहिए।
हल (Solution):
- Step 1: Prices pᴬ पर A cost=10 और B cost=2×2+3=7; इसलिए A Rᴰ B।
- Step 2: Prices pᴮ पर B cost=2+3=5; A cost=4+2=6।
- Step 3: 6>5: B चुने जाने पर A affordable नहीं था।
उत्तर (Final answer): WARP pass; इस two-observation dataset में SARP और GARP भी pass।
पहले A को B पर चुना गया। दूसरी बार B इसलिए चुन सकती हैं क्योंकि A budget के बाहर हो गया। यह reversal of taste साबित नहीं करता। दोनों dates की cross-cost सही prices पर निकालना जरूरी है।
Numerical 6: एक strict और एक weak comparison: violation
प्रश्न (Question): Observation 1 में pᴬ=(2,1), A=(4,2) चुना गया। Observation 2 में pᴮ=(1,2), B=(2,3) चुना गया। WARP और GARP जाँचिए।
दिया गया (Given): mᴬ=10; mᴮ=8।
WARP distinct bundles में mutual weak direct RP रोकता है। GARP ऐसे cycle को रोकता है जिसमें कम-से-कम एक strict affordability edge हो।
हल (Solution):
- Step 1: pᴬ·A=10; pᴬ·B=7<10, इसलिए A strictly directly revealed preferred to B।
- Step 2: pᴮ·B=8; pᴮ·A=8≤8, इसलिए B Rᴰ A।
- Step 3: Cycle A→B→A है; पहली edge strict है।
उत्तर (Final answer): Textbook unique-choice WARP fail और GARP fail।
GARP violation के लिए दोनों sides पर strict inequality जरूरी नहीं। एक strict edge और बाकी weak edges भी contradiction बनाते हैं। यहाँ A को B से strictly ऊपर रखना पड़ेगा, लेकिन दूसरी observation B को A से weakly ऊपर रखती है।
Numerical 7: Weak edge के बाद reverse bundle बाहर
प्रश्न (Question): A=(3,4), pᴬ=(2,1) तथा B=(4,2), pᴮ=(1,1) chosen observations हैं। क्या equality के कारण WARP fail होता है?
दिया गया (Given): mᴬ=10; mᴮ=6।
A Rᴰ B ⇒ दूसरी observation में A को unaffordable होना चाहिए, अगर unique-choice WARP लागू है।
हल (Solution):
- Step 1: pᴬ·A=10 और pᴬ·B=10; इसलिए weak A Rᴰ B।
- Step 2: pᴮ·B=6 और pᴮ·A=7।
- Step 3: 7>6, इसलिए B Rᴰ A नहीं है।
उत्तर (Final answer): WARP pass; GARP भी pass।
केवल एक budget पर equality violation नहीं है। Contradiction तब बनती है जब reverse choice के समय पहले वाला अलग bundle भी affordable हो। यहाँ ₹7 वाला A, ₹6 के दूसरे budget में खरीदा ही नहीं जा सकता।
Numerical 8: Unknown price k के लिए WARP condition
प्रश्न (Question): A=(3,2), pᴬ=(2,1) चुना गया। दूसरी observation में B=(2,3), pᴮ=(k,1), k>0 चुना गया। WARP के लिए k की range निकालिए।
दिया गया (Given): mᴬ=8; mᴮ=2k+3; chosen bundles अलग हैं।
A Rᴰ B होने पर pᴮ·A>pᴮ·B।
हल (Solution):
- Step 1: pᴬ·A=8; pᴬ·B=7<8; इसलिए A Rᴰ B strict है।
- Step 2: pᴮ·A=3k+2; pᴮ·B=2k+3।
- Step 3: WARP: 3k+2>2k+3 ⇒ k>1।
- Step 4: k=1 पर reverse cost बराबर होगी; k<1 पर A दूसरे budget के अंदर होगा।
उत्तर (Final answer): k>1। k≤1 पर WARP और GARP दोनों fail।
पहली observation में A की revealed ranking मिल चुकी है। दूसरी बार B का choice तभी consistent है जब A महँगा होकर बाहर चला जाए। Boundary k=1 को गलती से include न करें: पहली edge strict होने से equality पर GARP भी fail होगा।
Numericals 9–15: Matrices, Cycles and Restrictions
Numerical 9: 3×3 expenditure matrix बनाना
प्रश्न (Question): तीन goods में A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1) चुने गए। इनकी respective prices pᴬ=(3,2,1), pᴮ=(4,3,2), pᶜ=(4,5,3) हैं। Cost matrix और direct arrows बनाइए।
दिया गया (Given): हर observation की income उसके chosen bundle की expenditure के बराबर है। Rows=prices A,B,C; columns=bundles A,B,C।
| Prices ↓ / bundle → | A | B | C |
|---|---|---|---|
| pA | 3 | 2 | 1 |
| pB | 4 | 3 | 2 |
| pC | 4 | 5 | 3 |
Eₜₛ=pᵗ·xˢ; row t में Eₜₛ≤Eₜₜ होने पर xᵗ Rᴰ xˢ।
हल (Solution):
- Step 1: Row A: costs (3,2,1); chosen expenditure=3; arrows A→B और A→C।
- Step 2: Row B: costs (4,3,2); chosen expenditure=3; arrow B→C।
- Step 3: Row C: costs (4,5,3); chosen expenditure=3; कोई outward arrow to A/B नहीं।
- Step 4: Matrix=[[3,2,1],[4,3,2],[4,5,3]]; ranking chain A→B→C में reverse cycle नहीं है।
उत्तर (Final answer): Direct arrows: A→B, A→C, B→C। WARP, SARP, GARP सभी pass।
Diagonal entry हमेशा उस row का chosen expenditure है। हर row को अपनी diagonal से compare करें; किसी दूसरी row की income से नहीं। Three goods के unit bundles लेने से costs सीधे price-vector entries बन जाती हैं।
Numerical 10: Indirect revealed preference: direct edge जरूरी नहीं
प्रश्न (Question): A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1) और respective prices (2,1,3), (3,2,1), (3,3,2) हैं। क्या A से C की revealed ranking मिलती है?
दिया गया (Given): All chosen expenditures=2; three goods।
| Prices ↓ / bundle → | A | B | C |
|---|---|---|---|
| pA | 2 | 1 | 3 |
| pB | 3 | 2 | 1 |
| pC | 3 | 3 | 2 |
A Rᴰ B और B Rᴰ C ⇒ A R C via transitive closure।
हल (Solution):
- Step 1: Row A costs=(2,1,3): A→B; A→C direct नहीं क्योंकि 3>2।
- Step 2: Row B costs=(3,2,1): B→C।
- Step 3: Row C costs=(3,3,2): C से A/B affordable नहीं।
- Step 4: Chain A→B→C से indirect A R C मिलता है।
उत्तर (Final answer): A indirectly revealed preferred to C; directly नहीं। WARP, SARP, GARP pass।
Indirect का मतलब “बीच में कम-से-कम एक observed link” है। A वाले समय C afford नहीं था, फिर भी B के माध्यम से consistent preferences में A की C से ऊपर ranking निकल सकती है। Matrix में transitive closure इसी काम के लिए है।
Numerical 11: WARP pass लेकिन SARP fail: तीन-good cycle
प्रश्न (Question): A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1) और prices pᴬ=(2,1,3), pᴮ=(3,2,1), pᶜ=(1,3,2) हैं। WARP और SARP test कीजिए।
दिया गया (Given): Chosen expenditures 2,2,2; matrix rows=[[2,1,3],[3,2,1],[1,3,2]]।
| Prices ↓ / bundle → | A | B | C |
|---|---|---|---|
| pA | 2 | 1 | 3 |
| pB | 3 | 2 | 1 |
| pC | 1 | 3 | 2 |
WARP checks mutual direct edges; SARP checks cycles of any length between distinct bundles।
हल (Solution):
- Step 1: A→B क्योंकि 1<2; B→A नहीं क्योंकि 3>2।
- Step 2: B→C क्योंकि 1<2; C→B नहीं क्योंकि 3>2।
- Step 3: C→A क्योंकि 1<2; A→C नहीं क्योंकि 3>2।
- Step 4: किसी pair में mutual direct edges नहीं; लेकिन cycle A→B→C→A है।
उत्तर (Final answer): WARP pass, SARP fail; GARP भी fail क्योंकि cycle में strict edges हैं।
Pairwise checking तीन-step contradiction को नहीं पकड़ती। Consumer A को B से, B को C से और C को A से ऊपर रख रही हैं। तीन goods का यह example WARP को SARP समझ लेने वाली गलती साफ करता है।
Numerical 12: Strict cycle से Afriat contradiction
प्रश्न (Question): Numerical 11 के cycle में हर chosen expenditure ₹2 तथा अगले bundle की cost ₹1 है। दिखाइए कि positive Afriat multipliers से utility levels नहीं मिल सकते।
दिया गया (Given): A→B→C→A; हर forward cost difference=1−2=−1; λᴬ,λᴮ,λᶜ>0।
Uˢ≤Uᵗ+λᵗ[pᵗ·xˢ−pᵗ·xᵗ]।
हल (Solution):
- Step 1: A वाली inequality: Uᴮ≤Uᴬ−λᴬ।
- Step 2: B वाली inequality: Uᶜ≤Uᴮ−λᴮ।
- Step 3: C वाली inequality: Uᴬ≤Uᶜ−λᶜ।
- Step 4: तीनों जोड़ें: 0≤−(λᴬ+λᴮ+λᶜ)। Right side strictly negative है, इसलिए impossible।
उत्तर (Final answer): Afriat inequalities infeasible; dataset GARP-compatible utility maximization से rationalize नहीं होता।
Cycle में utility नीचे उतरती जाती है और आखिर उसी A पर पहले से कम level माँगती है। Positive multipliers होने के कारण इस contradiction को zero multipliers डालकर हटाना allowed नहीं है। यह पूरे dataset की failure है, केवल किसी एक guessed multiplier set की नहीं।
Numerical 13: Only weak cycle: GARP ties स्वीकार करता है
प्रश्न (Question): pᴬ=pᴮ=(1,1), income दोनों में ₹3। A=(2,1) और B=(1,2) अलग dates पर चुने गए। SARP और GARP जाँचिए तथा एक rationalizing utility दीजिए।
दिया गया (Given): A और B दोनों की cost दोनों dates पर ₹3 है; ties allowed in GARP framework।
| Prices ↓ / bundle → | A | B |
|---|---|---|
| pA | 3 | 3 |
| pB | 3 | 3 |
GARP में weak chain के बाद strictly cheaper reverse bundle नहीं होना चाहिए।
हल (Solution):
- Step 1: Cost matrix=[[3,3],[3,3]]; A→B और B→A दोनों weak edges।
- Step 2: किसी edge पर 3<3 नहीं है; strict reverse affordability नहीं।
- Step 3: u(x,y)=x+y लें। Budget x+y≤3 पर maximum utility=3; A और B दोनों maximizers हैं।
- Step 4: SARP distinct bundles का weak cycle रोकता है; इसलिए SARP fail। Textbook unique-choice WARP भी fail।
उत्तर (Final answer): GARP pass; SARP fail और stated unique-choice WARP fail। Utility u=x+y data rationalize करती है।
दो अलग choices कभी-कभी same utility वाली ties हो सकती हैं। GARP इसी possibility को रखता है। इसलिए “GARP pass ⇒ हर textbook WARP convention pass” कहना गलत होगा। कुछ sources WARP को weak GARP-like convention में लिखते हैं; question की definition पढ़ें।
Numerical 14: Price–income scaling: same budget
प्रश्न (Question): p=(2,1), income ₹10 पर A=(3,4) चुना जाता है। सभी prices और income तीन गुने हो जाएँ तो budget intercepts और unique optimal bundle क्या होंगे?
दिया गया (Given): New p=(6,3), new m=30; stable preferences, unique choice assumed।
p·x≤m ⇔ (kp)·x≤km, k>0; demand homogeneous of degree zero।
हल (Solution):
- Step 1: Old budget: 2x+y≤10; intercepts X=5,Y=10।
- Step 2: New budget: 6x+3y≤30; तीन से divide करें: 2x+y≤10।
- Step 3: Feasible set unchanged; A cost at new prices=6×3+3×4=30।
उत्तर (Final answer): Intercepts 5 और 10; unique choice वही A=(3,4)।
Rupee labels तीन गुने हुए हैं, purchasing opportunities नहीं बदलीं। इससे consumption तीन गुनी नहीं होती। अगर multiple tied optima हों, GARP अलग maximizer को भी allow कर सकता है; same unique bundle वाला निष्कर्ष uniqueness पर आधारित है।
Numerical 15: New bundle की permissible quantity range
प्रश्न (Question): Old observation: pᴬ=(2,1), income10, A=(4,2)। New budget: pᴮ=(1,2), income10, B=(b,(10−b)/2)। Unique-choice WARP के लिए b की range निकालिए।
दिया गया (Given): 0≤b≤10 से quantities nonnegative; A की new-price cost=8<10।
B Rᴰ A है। इसलिए A Rᴰ B नहीं होना चाहिए: pᴬ·B>pᴬ·A।
हल (Solution):
- Step 1: New budget पर B cost=b+2×(10−b)/2=10; A cost=4+2×2=8।
- Step 2: Old prices पर B cost=2b+(10−b)/2=(3b+10)/2।
- Step 3: WARP के लिए (3b+10)/2>10 ⇒ 3b>10 ⇒ b>10/3।
- Step 4: Nonnegative bundle condition b≤10 जोड़ें।
उत्तर (Final answer): 10/3 < b ≤ 10। Equality b=10/3 allowed नहीं।
नए budget में A भी उपलब्ध है और सस्ता है। इसलिए B चुनना B की A से ऊपर revealed ranking देता है। Old observation से उलटा arrow न बने, इसके लिए B पुराने budget के बाहर होना चाहिए। दोनों budgets का affordability test ही range तय करता है।
Numericals 16–22: Compensation and Demand Effects
Numerical 16: Price fall: Slutsky compensation और decomposition
प्रश्न (Question): u(x,y)=xy, m=80, pᵧ=1। pₓ 4 से 2 हो जाता है। Slutsky-compensated income तथा X का substitution, income और total effect निकालिए।
दिया गया (Given): Equal expenditure shares: x=m/(2pₓ), y=m/(2pᵧ)। Initial prices (4,1)।
mˢ=p¹·x⁰; SE=x(p¹,mˢ)−x⁰; IE=x(p¹,m)−x(p¹,mˢ); TE=SE+IE।
हल (Solution):
- Step 1: Initial choice: x⁰=80/(2×4)=10; y⁰=80/2=40।
- Step 2: New prices पर old bundle cost=2×10+40=60। इसलिए mˢ=60; income adjustment=60−80=−20।
- Step 3: Compensated choice: xˢ=60/(2×2)=15; yˢ=30। Actual new choice: x¹=80/(2×2)=20; y¹=40।
- Step 4: SE=15−10=+5; IE=20−15=+5; TE=20−10=+10 units।
उत्तर (Final answer): Slutsky income ₹60; SE +5, IE +5, TE +10 units of X।
Price गिरने पर पुराना bundle ₹20 सस्ता हो गया। पहले ₹20 income वापस लेकर old bundle को just affordable रखते हैं; तब X की बढ़ी 5 units substitution effect हैं। ₹20 वापस मिलने पर दूसरी 5 units income effect हैं। Slutsky compensation old bundle की purchasing power रखता है, old utility exactly नहीं।
Numerical 17: Price rise: compensation और fractional effects
प्रश्न (Question): u=xy, m=80, pᵧ=1; pₓ 4 से 6 हो जाता है। X के Slutsky substitution और income effects निकालिए।
दिया गया (Given): Initial bundle (10,40); new prices (6,1)।
mˢ=6×10+1×40; xˢ=mˢ/(2×6); actual x¹=80/(2×6)।
हल (Solution):
- Step 1: Old bundle की new-price cost=60+40=100; income adjustment +₹20।
- Step 2: Compensated xˢ=100/12=25/3; compensated yˢ=50।
- Step 3: Actual x¹=80/12=20/3; actual y¹=40।
- Step 4: SE=25/3−10=−5/3; IE=20/3−25/3=−5/3; TE=−10/3।
उत्तर (Final answer): mˢ=₹100; SE=−5/3, IE=−5/3, TE=−10/3 units।
पहले ₹20 देकर old bundle फिर affordable बनाया। इसके बाद भी X की relative price बढ़ने से consumer X कम चुनती हैं। अतिरिक्त ₹20 हटाने पर normal good X और घटता है। Fractions को calculation के अंत तक रखें; जल्दी rounding से effects का sum बिगड़ सकता है।
Numerical 18: Compensated demand की गलत candidate choice
प्रश्न (Question): Initial p⁰=(4,1), chosen A=(10,40), m⁰=80। Price change p¹=(2,1) के बाद Slutsky income60 पर candidate B=(8,44) चुना जाए तो consistency जाँचिए।
दिया गया (Given): p¹·A=60; p¹·B=60; candidate X घटकर 8 हो गया जबकि केवल X की price गिरी।
Compensated law: (p¹−p⁰)·(B−A)≤0। Cross-affordability से भी जाँचें।
हल (Solution):
- Step 1: Old prices पर B cost=4×8+44=76<80; इसलिए A Pᴰ B।
- Step 2: New prices पर A और B दोनों की cost60; इसलिए B Rᴰ A।
- Step 3: Δp=(−2,0), Δx=(−2,4)। Dot product=(−2)×(−2)+0×4=+4>0।
उत्तर (Final answer): Candidate inconsistent: WARP/GARP fail और compensated law violated।
Income को इस तरह adjust किया गया कि old bundle अभी भी affordable है। ऐसे own-price fall पर X कम चुनने से reverse affordability contradiction बनती है। यह ordinary fixed-money-income demand test नहीं, explicitly compensated experiment है।
Numerical 19: दो prices बदलें: vector law pass
प्रश्न (Question): Initial p⁰=(2,1), A=(4,4), income12। New p¹=(1,2), compensated income p¹·A=12 पर B=(6,3) चुना गया। Compensated law जाँचिए।
दिया गया (Given): Δp=(−1,+1); Δx=(+2,−1)।
(Δp)·(Δx)≤0; सिर्फ एक good की quantity देखकर multi-price experiment judge नहीं करें।
हल (Solution):
- Step 1: New cost of A=1×4+2×4=12; B cost=1×6+2×3=12।
- Step 2: Dot product=(−1)×2+(+1)×(−1)=−3।
- Step 3: Old prices पर B cost=2×6+3=15>12; A Rᴰ B नहीं। New observation में B Rᴰ A है।
उत्तर (Final answer): −3≤0: compensated law pass; इस pair में WARP/GARP contradiction नहीं।
X सस्ता और Y महँगा हुआ। Consumer X बढ़ाकर Y कम करती हैं; weighted quantity change negative है। दोनों prices बदलने पर सही test vector dot product है, किसी एक axis पर slope नहीं। इस two-observation dataset में cross-affordability भी consistency दिखाती है।
Numerical 20: दो prices बदलें: vector law fail
प्रश्न (Question): Initial p⁰=(2,1), A=(4,4), income12। New p¹=(1,2), Slutsky income12 पर B=(2,5) candidate choice है। क्या यह consistent है?
दिया गया (Given): B की new cost=2+10=12; Δp=(−1,+1), Δx=(−2,+1)।
Compensated test: Δp·Δx≤0।
हल (Solution):
- Step 1: Dot product=(−1)×(−2)+(+1)×1=3>0।
- Step 2: Old-price B cost=2×2+5=9<12; A Pᴰ B।
- Step 3: New-price A cost=12, B cost=12; B Rᴰ A।
उत्तर (Final answer): Compensated law fail; GARP और stated WARP fail।
नई choice budget पर होने से वह rational choice अपने-आप नहीं बनती। पुराने समय यही B ₹9 में मिल सकता था, फिर भी ₹12 वाला A चुना गया। अब B को A पर चुनना strict/weak cycle बनाता है।
Numerical 21: Giffen ordinary demand, फिर भी negative substitution
प्रश्न (Question): एक differentiable demand में ∂x/∂pₓ=+0.4, x=10 और ∂x/∂m=−0.1 हैं। Compensated own-price derivative निकालिए।
दिया गया (Given): Ordinary derivative positive; income derivative negative। सब derivatives same point पर evaluated हैं।
Slutsky: ∂h/∂pₓ = ∂x/∂pₓ + x(∂x/∂m)।
हल (Solution):
- Step 1: Income-effect term x(∂x/∂m)=10×(−0.1)=−1।
- Step 2: Compensated derivative=0.4−1=−0.6।
- Step 3: Ordinary derivative=−0.6−10×(−0.1)=+0.4, formula check।
उत्तर (Final answer): ∂h/∂pₓ=−0.6; signs Giffen behaviour के साथ consistent हैं।
Price बढ़ने पर ordinary demand बढ़ सकती है अगर inferior good का income effect substitution effect से ज्यादा हो। Compensated demand फिर भी नीचे झुकती है। इसलिए केवल upward ordinary demand देखकर Revealed Preference Theory को गलत कहना ठीक नहीं। ये local signs हैं; पूरे demand system की rationalizability इससे अकेले साबित नहीं होती।
Numerical 22: Local Slutsky equation: normal good
प्रश्न (Question): एक demand में ∂x/∂pₓ=−2, x=4 तथा ∂x/∂m=0.25 है। Compensated derivative और छोटे Δpₓ=0.1 के लिए approximate effects निकालिए।
दिया गया (Given): दूसरे prices fixed; first-order approximation requested।
∂h/∂pₓ=∂x/∂pₓ+x∂x/∂m; ordinary change≈SE+IE।
हल (Solution):
- Step 1: Compensated derivative=−2+4×0.25=−1।
- Step 2: SE≈(−1)×0.1=−0.1 unit।
- Step 3: IE≈−x(∂x/∂m)Δpₓ=−4×0.25×0.1=−0.1 unit।
- Step 4: Total≈−2×0.1=−0.2; check −0.1−0.1=−0.2।
उत्तर (Final answer): Compensated derivative −1; SE≈−0.1, IE≈−0.1, total≈−0.2 unit।
यह small-change derivative exercise है; finite price change का exact decomposition नहीं। Normal good में price rise purchasing power घटाता है, इसलिए income effect भी demand घटाता है। Derivative में x वाला multiplier छोड़ देना सबसे common formula error है।
Numericals 23–30: Welfare Indices and Afriat
Numerical 23: Laspeyres test: old bundle अब भी affordable
प्रश्न (Question): Old p⁰=(2,1), A=(4,4), m⁰=12। New p¹=(3,1), B=(3,9), m¹=18। Laspeyres price index और revealed welfare direction निकालिए।
दिया गया (Given): Stable preferences; दोनों observations optimizing choices; strict welfare conclusion के लिए local nonsatiation।
Pᴸ=(p¹·A)/(p⁰·A)। अगर p¹·A≤m¹ तो B Rᴰ A।
हल (Solution):
- Step 1: Old expenditure=2×4+4=12। New prices पर old bundle cost=3×4+4=16।
- Step 2: Pᴸ=16/12=4/3≈1.3333; base100 पर 133.33।
- Step 3: Income ratio=m¹/m⁰=18/12=1.5; 1.5>4/3, इसलिए old bundle affordable है।
- Step 4: New choice B cost=3×3+9=18; old A cost16<18, इसलिए B Pᴰ A।
उत्तर (Final answer): Laspeyres index133.33; new observed choice strictly revealed better under local nonsatiation।
X की consumption 4 से 3 गिरने के बावजूद welfare घटने का निष्कर्ष नहीं आता। पुराने पूरे bundle को ₹16 में खरीद सकती थीं, लेकिन ₹18 budget पर B चुना। Income ने old-bundle price rise से ज्यादा compensate किया। Index में base quantities ही weights होती हैं।
Numerical 24: Paasche test: new bundle पुराने budget के अंदर
प्रश्न (Question): Old p⁰=(2,1), A=(4,4), income12। New p¹=(3,1), B=(2,4), income10। Paasche index और revealed welfare direction निकालिए।
दिया गया (Given): p¹·B=10; p⁰·A=12; stable optimizing consumer।
Pᴾ=(p¹·B)/(p⁰·B)। अगर p⁰·B<p⁰·A तो A Pᴰ B।
हल (Solution):
- Step 1: Old prices पर new bundle cost=2×2+4=8।
- Step 2: Pᴾ=10/8=1.25; base100 पर125।
- Step 3: Old choice A cost12 है और B cost8<12; इसलिए A Pᴰ B।
- Step 4: Income ratio10/12=5/6≈0.8333; यह Pᴾ=1.25 से कम है, उसी affordability condition की index form।
उत्तर (Final answer): Paasche index125; new observed bundle B strictly revealed worse than old A under local nonsatiation।
Old observation में B खरीद सकती थीं और budget में ₹4 बचते, लेकिन A चुना गया। इससे old A की B पर strict revealed ranking मिलती है। Paasche में current quantities weights हैं; Laspeyres वाली old quantities यहाँ नहीं लगानी हैं।
Numerical 25: Crossing budgets: welfare ranking not identified
प्रश्न (Question): Old pᴬ=(2,1), A=(2,4), income8। New pᴮ=(1,2), B=(4,2), income8। क्या A और B का welfare rank data से तय होता है?
दिया गया (Given): दोनों chosen costs ₹8; preferences stable।
दोनों directions की cross-cost affordability देखें।
हल (Solution):
- Step 1: pᴬ·B=2×4+2=10>8; A Rᴰ B नहीं।
- Step 2: pᴮ·A=2+2×4=10>8; B Rᴰ A नहीं।
- Step 3: दो observations में कोई indirect linking observation भी नहीं है।
उत्तर (Final answer): इस data से welfare ordering तय नहीं। WARP, SARP, GARP pass।
हर date पर दूसरे bundle को खरीद नहीं सकती थीं। इसलिए अलग choice देखना ranking साबित नहीं करता। u=xy के लिए दोनों bundles utility8 दे सकते हैं, लेकिन data indifference को uniquely prove नहीं करता। Consistency pass और complete preference identification दो अलग बातें हैं।
Numerical 26: Afriat inequalities: एक feasible solution
प्रश्न (Question): A=(2,1), pᴬ=(2,1); B=(1,1), pᴮ=(1,2)। Uᴬ=0, Uᴮ=−2, λᴬ=1, λᴮ=2 क्या Afriat inequalities satisfy करते हैं?
दिया गया (Given): Cost matrix=[[5,3],[4,3]]; multipliers positive।
| Prices ↓ / bundle → | A | B |
|---|---|---|
| pA | 5 | 3 |
| pB | 4 | 3 |
Uˢ≤Uᵗ+λᵗ(Eₜₛ−Eₜₜ), every pair t,s।
हल (Solution):
- Step 1: A→B inequality: Uᴮ≤0+1×(3−5)=−2। Given Uᴮ=−2, equality holds।
- Step 2: B→A inequality: Uᴬ≤−2+2×(4−3)=0। Given Uᴬ=0, equality holds।
- Step 3: Self inequalities Uᴬ≤Uᴬ तथा Uᴮ≤Uᴮ स्वतः सही हैं।
- Step 4: λᴬ=1>0, λᴮ=2>0; सभी required conditions मिलती हैं।
उत्तर (Final answer): हाँ। यह feasible Afriat certificate है; dataset GARP pass करता है।
U values ordinal labels हैं; negative utility level allowed है और इसे loss in rupees न मानें। दोनों cross-inequalities और positive multipliers check करना जरूरी है। एक feasible solution मिलते ही existence सिद्ध हो जाती है; यही Afriat test की उपयोगिता है।
Numerical 27: Unknown utility level की feasible interval
प्रश्न (Question): Numerical26 का cost matrix [[5,3],[4,3]] लें। Uᴬ=0, λᴬ=1, λᴮ=3 दिए हैं। Uᴮ की feasible range निकालिए।
दिया गया (Given): Uᴮ unknown; all other parameters fixed।
| Prices ↓ / bundle → | A | B |
|---|---|---|
| pA | 5 | 3 |
| pB | 4 | 3 |
A→B upper bound; B→A lower bound।
हल (Solution):
- Step 1: A→B: Uᴮ≤0+1×(3−5)=−2।
- Step 2: B→A: 0≤Uᴮ+3×(4−3)=Uᴮ+3 ⇒ Uᴮ≥−3।
- Step 3: दो conditions का intersection लें: −3≤Uᴮ≤−2।
उत्तर (Final answer): Uᴮ∈[−3,−2]।
पहली row utility की upper ceiling देती है, दूसरी lower floor। दोनों को जोड़कर interval बनती है। Inequality rearrange करते समय sign न उलटें; यहाँ किसी negative number से multiply/divide नहीं किया गया। पूरी interval एक ही observed behaviour को rationalize कर सकती है।
Numerical 28: एक multiplier guess fail होने का मतलब data fail नहीं
प्रश्न (Question): Same cost matrix [[5,3],[4,3]] में Uᴬ=0, λᴬ=2, λᴮ=1 रखें। Uᴮ मिल सकता है? क्या इस failure से dataset GARP fail कहा जा सकता है?
दिया गया (Given): Multipliers positive हैं, लेकिन अब fixed values2 और1 हैं।
| Prices ↓ / bundle → | A | B |
|---|---|---|
| pA | 5 | 3 |
| pB | 4 | 3 |
Afriat theorem: some feasible U,λ exist; हर guessed λ का feasible होना जरूरी नहीं।
हल (Solution):
- Step 1: A→B: Uᴮ≤0+2×(3−5)=−4।
- Step 2: B→A: 0≤Uᴮ+1×(4−3) ⇒ Uᴮ≥−1।
- Step 3: एक साथ Uᴮ≤−4 और Uᴮ≥−1 impossible।
- Step 4: Numerical26 में λᴬ=1,λᴮ=2,Uᴮ=−2 feasible था; इसलिए data की rationalizability बनी रहती है।
उत्तर (Final answer): यह fixed multiplier guess infeasible है; dataset GARP fail नहीं है।
Existence question और particular trial solution अलग हैं। गलत trial values असफल होने से पूरे model को reject नहीं कर सकते। यह distinction Afriat के hard questions में बहुत महत्वपूर्ण है।
Numerical 29: Afriat utility बनाकर unobserved bundle evaluate करना
प्रश्न (Question): Numerical26 के feasible Uᴬ=0,Uᴮ=−2,λᴬ=1,λᴮ=2 से utility reconstruct करें। Z=(1,2) को A और B से compare कीजिए।
दिया गया (Given): A=(2,1), pᴬ=(2,1); B=(1,1), pᴮ=(1,2)।
u(z)=minₜ{Uᵗ+λᵗpᵗ·(z−xᵗ)}।
हल (Solution):
- Step 1: A support=0+(2x+y−5)=2x+y−5।
- Step 2: B support=−2+2(x+2y−3)=2x+4y−8। इसलिए u(x,y)=min{2x+y−5,2x+4y−8}।
- Step 3: u(A)=min{0,0}=0; u(B)=min{−2,−2}=−2।
- Step 4: Z=(1,2) पर supports −1 और2 हैं; u(Z)=min{−1,2}=−1।
उत्तर (Final answer): इस reconstructed utility में u(A)=0>u(Z)=−1>u(B)=−2।
Lower envelope यानी हर bundle पर supports का minimum चुनना है, maximum नहीं। यह एक valid utility representation है। Z की ranking इस constructed representation में है; limited observed data सभी possible rationalizing utilities में यही ranking uniquely तय करे, यह अतिरिक्त दावा नहीं है।
Numerical 30: पूरा certificate और एक conditional prediction
प्रश्न (Question): pᴬ=pᴮ=pᶜ=(1,1) पर A=(1,1), B=(2,1), C=(2,2) चुने गए; incomes2,3,4 हैं। U=(0,1,2), सभी λ=1 जाँचें। Constructed u=x+y−2 से p=(2,1), income6 पर choice निकालिए।
दिया गया (Given): Observed expenditures2,3,4; counterfactual prediction specifically constructed u के लिए है।
| Prices ↓ / bundle → | A | B | C |
|---|---|---|---|
| pA | 2 | 3 | 4 |
| pB | 2 | 3 | 4 |
| pC | 2 | 3 | 4 |
Afriat: Uˢ≤Uᵗ+(xˢₓ+xˢᵧ−xᵗₓ−xᵗᵧ)। Prediction: maximize x+y−2 subject to2x+y≤6।
हल (Solution):
- Step 1: हर observed bundle पर Uᵗ=(xᵗₓ+xᵗᵧ)−2। इसलिए every Afriat inequality equality बनती है; multipliers1>0।
- Step 2: Direct edges C→B,C→A,B→A हैं; reverse edges नहीं। WARP,SARP,GARP pass।
- Step 3: New budget पर one rupee से X की1/2 unit या Y की1 unit मिलती है; linear utility में Y अधिक utility per rupee देती है।
- Step 4: इस u का optimum x=0,y=6; total cost6 और u=6−2=4।
उत्तर (Final answer): Certificate valid। Constructed utility के अनुसार new choice=(0,6), utility4।
Afriat से एक well-behaved function बना सकते हैं, लेकिन उसी limited data से future demand generally unique नहीं मिलती। यहाँ prediction तभी है जब reconstructed linear u को forecasting model मानें। “GARP pass ⇒ true utility और future demand uniquely identified” exam trap है।
9. ⚠️ Exam Traps और Final Revision
| Quick cue | Correct answer / trap |
|---|---|
| A चुना, B reject | B affordable और available था या नहीं, पहले देखें। |
| Same cost | Weak direct RP; indifference या strict preference automatically नहीं। |
| WARP | Stated unique-choice convention में pairwise mutual direct reversals नहीं। Equality convention पढ़ें। |
| SARP | Direct + indirect distinct-bundle cycles नहीं। |
| GARP | Weak chain के बाद strictly affordable reverse bundle नहीं; only weak ties possible। |
| WARP pass | Generally लंबे cycles का complete test नहीं; three-good counterexample देखें। |
| Cost matrix | Rows prices, columns bundles; हर row अपनी diagonal से compare। |
| Budget lines cross | यह अकेले violation नहीं है; chosen points की cross-cost check करें। |
| Price fall compensation | Slutsky में income घट सकती है: old bundle सस्ता हुआ है। |
| mˢ vs mʰ | Slutsky old bundle; Hicks old utility। Finite change में दोनों अलग। |
| Giffen | Ordinary upward possible; compensated own-price response nonpositive। |
| Multi-price change | Δp·Δx का vector test; सिर्फ एक quantity का sign नहीं। |
| PL / PP | Laspeyres old quantities; Paasche new quantities। Base100 में ×100। |
| Afriat | λ>0; all pair inequalities; lower envelope uses min। |
| Negative U | Allowed ordinal normalization; negative welfare money नहीं। |
| GARP pass | एक rationalizing utility exists; unique true utility/demand का दावा नहीं। |
⭐ Most important: Samuelson1938; Houthakker1950; WARP/SARP distinction; affordability inequalities; GARP equality trap; Slutsky income; compensated versus ordinary demand; Afriat1967 और Varian1982। Revision routine: आज Numericals2,6,11,16,26; अगले दिन cost matrix; तीसरे दिन GARP ties और compensation; सातवें दिन बिना solution देखे mixed set।
Consumer Surplus, welfare और Hicksian compensation को साथ revise करें।
Sources
Historical details और formulas को primary papers / university teaching material से cross-check किया गया है। Numericals और explanations स्वतंत्र रूप से तैयार किए गए हैं।
- Economica, February1938 — Samuelson original paper publication record
- Economica, May1950 — Houthakker publication record
- Afriat1967 — The Construction of Utility Functions from Expenditure Data
- Varian1982 — publisher-supplied bibliographic record via RePEc
- Varian1983 — original paper, GARP and Afriat inequalities
- MIT, Drew Fudenberg — Choice, Decisions and Utility Theory
- Richard Blundell — Consumer Behaviour and Revealed Preference lecture material