लागत का सिद्धांत (Cost Theory) — Easy Notes, Graphs + Solved Numericals | UGC NET / UP PGT

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MICROECONOMICS • UGC NET ECONOMICS / UP PGT

लागत का सिद्धांत (Cost Theory) को ऐसे समझें: किसी निश्चित output को बनाने के लिए कौन से resources लगेंगे, उनका opportunity cost क्या है, और output बदलने पर total तथा per-unit cost कैसे बदलेंगी?

Basic → Advanced Notes • 6 explained graphs • 16 step-by-step solved examples • Exam Traps

Syllabus में कहाँ आता है?

Uploaded UGC NET syllabus, Unit 1 में Theory of Production and Costs है। Uploaded UP PGT syllabus में Cost and Revenue curves स्पष्ट हैं। इस post में Cost Theory पूरी करेंगे; Revenue Theory अगली अलग post होगी। ⭐ दोनों exams: cost concepts, short-run और long-run curves, MC–AC relationships। ⭐ NET depth: cost minimisation, duality, cost-function properties और Shephard’s Lemma। Uploaded copies में version/date स्पष्ट नहीं है; यह latest notification का दावा नहीं है।

1. Cost के basic concepts — पहले सही meaning पकड़ें

Concept Easy meaning / example MCQ point
Explicit Cost (स्पष्ट लागत) बाहर से लिए inputs का payment/recorded expense: मजदूरी, किराया, raw material। Expense का cash payment उसी दिन होना जरूरी नहीं; accounts में depreciation भी non-cash expense हो सकता है।
Implicit Cost (अंतर्निहित लागत) अपने resources का opportunity cost: own shop का forgone rent, own capital का forgone return, owner की forgone salary। Cash payment नहीं होने पर भी economic cost है।
Opportunity Cost (अवसर लागत) चुने विकल्प के कारण छोड़े गए best feasible alternative की value। सभी छोड़े विकल्पों का sum नहीं। Paid inputs की prices भी alternative uses का मूल्य व्यक्त कर सकती हैं।
Accounting / Economic Cost Standard exam convention: accounting cost में recorded explicit costs; economic cost में relevant explicit + implicit costs। Economic cost व्यापक है। सवाल में दिया accounting convention पढ़ें।
Normal Profit Entrepreneur को अपने resources इस business में रखने के लिए जरूरी normal return। Economic cost में शामिल relevant opportunity return को फिर अलग से जोड़कर double count न करें।
Fixed Cost (स्थिर लागत) दिए short run में output के साथ नहीं बदलती, जैसे contracted plant rent। “Fixed” output से relation बताता है; “unrecoverable” नहीं।
Variable Cost Output बदलने पर बदलती: material, variable labour, production electricity। हर वास्तविक expense हमेशा इसी category में नहीं: time horizon और contract matter करते हैं।
Sunk Cost (डूबी हुई लागत) पहले incurred हो चुकी और current decision से recover/avoid नहीं हो सकती, जैसे irrecoverable past advertising। Current choice में relevant future incremental costs और benefits देखें।
Incremental Cost Decision/change से total cost में होने वाला increase। एक large order का incremental cost, एक unit का marginal cost नहीं।
Private / Social Cost Private cost decision-maker की; social cost में external costs भी आते हैं, जैसे pollution damage। Comparable units और perspective में: social marginal cost = private marginal cost + marginal external cost।
Real / Money Cost Marshallian real cost में labour की exertion और waiting/sacrifice; money cost में monetary expenses। Historical “real cost” को inflation-adjusted real expenditure समझना गलत है।
⚠️ Fixed ≠ Sunk. Output से independent cost fixed हो सकती है, फिर भी contract cancel करके avoid या asset बेचकर recover किया जा सकता है। Sunk test: क्या आज का decision इसे बदल सकता है? अपनी जमीन की historical purchase price sunk हो सकती है, लेकिन आज उसके alternative use/rent का opportunity cost relevant है।

2. Short Run में TC, TFC, TVC, AC और MC ⭐

Short Run: कम-से-कम एक input fixed। Long Run: सभी inputs adjust किए जा सकते हैं। Calendar के “6 महीने/1 साल” की कोई universal सीमा नहीं। नीचे Q output, w wage और r capital-service price हैं।

Total Cost: TC = TFC + TVC
Average Fixed Cost: AFC = TFC/Q
Average Variable Cost: AVC = TVC/Q
Average Total Cost: ATC = AC = TC/Q = AFC + AVC
Discrete MC: ΔTC/ΔQ = ΔTVC/ΔQ, जब TFC constant है।
Continuous MC: dTC/dQ = dTVC/dQ
  • Q=0 पर conventional short-run model में TVC=0 और TC=TFC। AC, AVC, AFC को Q=0 पर divide करके define नहीं करते।
  • TFC horizontal; TVC origin से; TC, TVC से exactly TFC ऊपर। Same Q पर TC और TVC की slope समान है।
  • AFC positive fixed cost के साथ लगातार गिरती rectangular hyperbola है: Q×AFC=TFC। Q बढ़ने पर AFC zero की ओर जाती है; finite Q पर zero नहीं होती।
  • TC/Q origin से TC point तक ray की slope है; TVC/Q origin से TVC point तक ray की slope है। MC curve पर tangent slope से बनती है।
Short run: TC = TFC + TVCIllustrative model TC32+18Q−6Q²+Q³. TC and TVC have same slope; vertical gap32.Short run: TC = TFC + TVCTotal cost (₹)03264961281600123456TCTVCTFC32Gap32Q: current outputTC−TVC=32 at every Q; slopes are identical
Graph 1. Original illustrative function TC=32+18Q−6Q²+Q³। Q4 पर TVC40 और TC72: vertical gap32=TFC। Both curves की slope MC है; TC का origin से ray slope AC है।

3. MC–AVC–AC का relation — सबसे ज्यादा पूछे जाने वाले points ⭐

Average को class average समझें। अगली unit का cost existing average से कम है तो average नीचे आएगा; अधिक है तो average ऊपर जाएगा। इस relation के लिए MC का खुद गिरना/बढ़ना जरूरी नहीं।

Comparison Average की direction याद रखें
MC < AC AC falling MC rising होते हुए भी AC गिर सकती है।
MC > AC AC rising Average की direction MC से relative position तय करती है।
MC = AC AC stationary Usual U-shaped case में नीचे से crossing → AC minimum।
MC < AVC / MC > AVC AVC falling / rising Same rule variable average पर।
AC − AVC AFC Positive TFC में AC हमेशा AVC से ऊपर; gap Q बढ़ने पर घटती है।
dAC/dQ = (MC − AC)/Q
dAVC/dQ = (MC − AVC)/Q
Minimum का test: equality के साथ slope/sign change भी देखें।
MC meets AVC and AC at their minimaTC32+18Q−6Q²+Q³. MC minimum Q2,value6; AVC minimum Q3,value9; AC minimum Q4,value18.MC meets AVC and AC at their minima₹ per output unit0102030405060700123456MC minAVC minAC minMCAVCACQ: current outputMinima: MC at Q2; AVC at Q3; AC at Q4
Graph 2. Same exact model: MC minimum Q2 पर ₹6; AVC minimum Q3 पर ₹9, जहाँ MC=AVC; AC minimum Q4 पर ₹18, जहाँ MC=AC। AC−AVC=AFC; graph में curve labels और output axes ध्यान से पढ़ें।

Usual smooth U-shaped curves और positive fixed cost में sequence: MC minimum → AVC minimum → AC minimum। यह हर imaginable cost function के लिए universal theorem नहीं। MC=AC अकेले “unique minimum” साबित नहीं करता: constant AC में MC=AC हर output पर है।

Production से cost कैसे बनती है?

एक variable input L, fixed capital और constant wage w हो; Q=f(L), MPL>0, TVC=wL। तब:

MC = w/MPL   |   AVC = w/APL
MP maximum → MC minimum; AP maximum → AVC minimum।

Initially increasing MP से MC घट सकती है; diminishing MP से MC बढ़ती है। AP घटने पर AVC बढ़ती है। ⚠️ TP maximum पर MP=0; वहाँ w/MP finite नहीं है और local inverse relation regular नहीं रहता। “TP maximum = MC minimum” गलत है।

Assumptions — U shape कब समझना है?

  • Given technology, input quality और relevant period; short run में fixed input और एक variable input।
  • Input price constant, inputs efficiently used और increasing-then-diminishing marginal productivity वाला conventional pattern।
  • Discrete observations और continuous derivatives अलग methods हैं। Technology, wage या fixed cost change होने पर curve shift हो सकती है; output change उसी curve पर movement है।

4. Long-run Cost Theory और Envelope Curve ⭐

Long run में firm plant size/input mix चुन सकती है। LTC किसी target Q का minimum feasible cost है; LAC=LTC/Q; LMC=dLTC/dQ। Textbook planning model में सभी inputs variable हैं; past sunk expenditure का इतिहास मिट नहीं जाता।

CLR(Q,w,r) = min over K of CSR(Q,w,r;K)
इसलिए same technology, prices और output पर LTC ≤ STC तथा LAC ≤ SAC।

Envelope idea: हर output पर जो feasible plant सबसे कम average cost देता है, LAC उसे चुनती है। Continuously variable plant sizes और regular smooth solutions में LAC relevant SAC को tangent करती है। Limited discrete plants में lower envelope में switches/kinks भी हो सकते हैं।

LAC is an envelope, not a chain of SAC minimaExact illustrative continuous plant family SACk=LAC+2(k/Q+Q/k−2),k>0. LAC42−6Q+Q²/3. Tangencies Q3,Q9,Q15; slopes−4,0,+4.LAC is an envelope, not a chain of SAC minimaAverage cost (₹ per unit)0153045600369121518T3T9T15SAC₃: orange SAC₉: purple SAC₁₅: blueLACQ: current outputTangency slopes: at Q3 falling; Q9 minimum; Q15 rising
Graph 3. Mathematically constructed family: LAC=42−6Q+Q²/3; SACₖ=LAC+2(k/Q+Q/k−2), k>0। Added term≥0 और Q=k पर zero, इसलिए exact tangency है। दिखाए plants k3,k9,k15 पर slopes−4,0,+4 हैं। केवल middle tangency दोनों averages का minimum है; बाकी tangencies को SAC minima न कहें।
⚠️ LAC सभी SAC curves के minimum points को जोड़ने वाली curve नहीं है। Usual U-shaped envelope की falling part में tangency SAC की falling side पर, rising part में SAC की rising side पर होती है। Overall LAC minimum पर relevant SAC का minimum coincide करता है, regular smooth case में। Tangency output पर LAC=SAC और LMC=SMC; SMC आम तौर पर LAC के बराबर होना जरूरी नहीं।
Long run: LMC crosses LAC at its minimumLTC42Q−6Q²+Q³/3; LAC42−6Q+Q²/3; LMC42−12Q+Q². Q9: both15. LMC<LAC below9, above thereafter.Long run: LMC crosses LAC at its minimum₹ per output unit015304560036912MinimumLMCLACQ: current outputQ9: LMC=LAC15; below9 LAC falls, above9 LAC rises
Graph 4. Illustrative LTC=42Q−6Q²+Q³/3 से LAC और LMC निकाली हैं। Q9 पर दोनों15 हैं। LMC का अपना minimum Q6 पर है; LAC minimum Q9 पर। यह Graph 2 का short-run function नहीं, अलग long-run model है।

Planning Curve: LAC future plant selection में मदद करती है। Operating Curve: plant चुन लेने के बाद उसी plant की SAC relevant है। Minimum Efficient Scale (MES) minimum LAC हासिल करने वाला smallest output है; flat minimum segment हो तो उसका starting output MES है।

5. Traditional बनाम Modern Cost Theory

Point Traditional textbook model Modern / empirical approach
SR average variable cost Usually U-shaped काफी operating range में near-constant / saucer-shaped हो सकती है।
Long-run average cost Often U-shaped: economies के बाद diseconomies L-shaped / falling then nearly flat pattern संभव।
Reserve capacity Simplified diagram में prominent नहीं Demand fluctuations, maintenance और future growth के लिए spare capacity rational हो सकती है।
Meaning Useful analytical benchmark Actual technology, organisation और data पर dependence।

P. W. S. Andrews का Manufacturing Business (1949) manufacturing firms के cost/pricing analysis से जुड़ा important work है। उसे हर modern cost curve का single inventor न मानें। बड़े scale पर technical economies और learning जारी रह सकती हैं; management problems delegation/organisation से कुछ हद तक offset हो सकती हैं। इससे LAC का nearly flat range समझ आता है।

Possible modern pattern: L-shaped LACIllustrative LAC8+24 exp(−Q/3), decreasing toward8. This is a possible pattern, not a universal empirical law or finite exact MES.Possible modern pattern: L-shaped LACLong-run average cost081624320369121518LACLimit8Q: current output rateNearly flat range is possible; this curve approaches8 asymptotically
Graph 5. Illustrative LAC=8+24e^(−Q/3) current output rate के साथ घटकर nearly flat होती है। यह exact flat segment नहीं, asymptotic curve है; इसलिए graph से finite exact MES invent न करें। Learning curve में axis cumulative experience होती, यहाँ current output rate है।

Learning Curve: experience बढ़ने पर per-unit cost घटती है; horizontal axis cumulative output/experience होती है। Economies of scale में given technology/experience पर current output rate/plant scale बदलती है। दोनों cost घटा सकते हैं, लेकिन अलग mechanisms हैं।

6. Economies of Scale, Scope और Cost Elasticity

  • Internal economies: firm के expansion से specialisation, indivisible equipment का fuller use, purchasing/management efficiencies। Internal diseconomies में coordination problems और congestion शामिल हो सकते हैं।
  • External economies: industry/location के expansion से supplier network, trained labour pool आदि; individual firm’s relevant cost curve shift हो सकती है। External congestion/land-price pressure cost बढ़ा भी सकते हैं।
  • Returns to Scale (RTS): सभी inputs proportionately बढ़ाने पर physical output की response। Economies of Scale: output बढ़ने पर minimum long-run average cost की response।
Cost elasticity: EC = (dC/dQ)(Q/C) = MC/AC
Scale-economy index, इस convention में: S = AC/MC = 1/EC
EC<1 → LAC falling; EC=1 → LAC locally stationary; EC>1 → LAC rising।

Cost elasticity interpretation में long-run minimum cost लें। SR में fixed cost को spread करने से AC गिरना अपने आप technological IRS साबित नहीं करता। Homogeneous production degree h>0, fixed positive input prices और efficient cost minimisation में C(Q)=Q1/hC(1), इसलिए EC=1/h: IRS → economies; CRS → constant LAC; DRS → diseconomies। बदलती factor prices/discounts हों तो simple equivalence टूट सकती है।

Economies of Scope (विविध उत्पाद साथ बनाने की बचत)

अलग-अलग products बनाने की तुलना में jointly बनाना सस्ता: shared distribution, research या facilities। यह एक product का scale बढ़ाने से अलग है।

Scope saving condition: C(Q1,Q2) < C(Q1,0)+C(0,Q2)
Degree of scope, इस definition में: [C(Q1,0)+C(0,Q2)−C(Q1,Q2)] / C(Q1,Q2)

7. NET Advanced: Cost Minimisation, Duality और Shephard’s Lemma ⭐

Primal approach: production function से least-cost input bundle निकालना। Dual approach: minimum cost function से conditional factor demands और technology-related information निकालना।

C(Q,w,r)=minL,K≥0{wL+rK : f(L,K)≥Q}
Regular interior solution: MPL/MPK = w/r
Equivalent: MPL/w = MPK/r
Isocost: K=C/r−(w/r)L; slope = −w/r

Firm दिए Q को बनाने की constraint के साथ cost minimise करती है। Smooth convex isoquant और positive prices में tangency relevant है; perfect substitutes में corner solution और fixed proportions में kink solution हो सकता है। केवल tangency equation लिखना हर technology में enough नहीं।

Least cost: target Q12, wage4, capital price9Isoquant LK144 and isocost4L+9K144. Tangency L18,K8, slope−4/9; minimum cost144.Least cost: target Q12, wage4, capital price9K: capital services058152025010183040E(18,8)Q12 isoquantIsocost144L: labour unitsTangency: L18, K8; C144; both slopes−4/9
Graph 6. Q=√(LK), target12। Isoquant LK144 और isocost4L+9K144 tangent at L18,K8। Isocost slope−4/9; isoquant slope−K/L=−8/18=−4/9। This regular interior optimum का cost144 है।

Minimum Cost Function की properties

Property Condition / interpretation
Nondecreasing in input prices किसी price बढ़ने पर given Q का minimum cost घट नहीं सकता।
Degree-one homogeneous in prices C(Q,tw,tr)=tC(Q,w,r), t>0। सभी prices double → cost double। Technology को CRS होना जरूरी नहीं।
Concave in input prices Feasible bundles के linear price costs का lower envelope; input substitution cost increase को mitigate कर सकती है।
Nondecreasing in Q Standard output requirement/free-disposal framework में higher target की feasible set छोटी होती है।
Convexity in Q हर technology में जरूरी नहीं: IRS technology में cost output में concave भी हो सकती है।
Shephard’s Lemma: ∂C/∂w=Lc(Q,w,r), ∂C/∂r=Kc(Q,w,r)
Envelope: ∂C/∂Q=MC=λ, regular binding-output solution में।
Euler in prices: w(∂C/∂w)+r(∂C/∂r)=C

Superscript c = conditional: target output fixed है। Lemma का derivative form differentiable minimum cost पर लागू करें; nonunique optimum में subgradient formulation जरूरी हो सकती है। Smooth cost function में own-price conditional effect ≤0 और cross derivatives symmetric हैं। Multi-input model में cross-price effect का sign universal नहीं। Cost को input price से differentiate करने पर factor demand; output से differentiate करने पर MC मिलती है।

Cobb–Douglas से general cost formula

Q=A LαKβ, α,β,A>0; h=α+β
C = h(Q/A)1/h(w/α)α/h(r/β)β/h
Lc=(α/h)C/w; Kc=(β/h)C/r
Special case Q=√(LK): C=2Q√(wr), Lc=Q√(r/w), Kc=Q√(w/r)

Positive input prices और continuous divisible inputs वाले model की formulas हैं। General formula में h छोड़ देना केवल CRS special case को गलत तरीके से generalise करना है।

8. किस economist का कौन सा योगदान, कब और किस publication में?

Economist Year / publication Exam association
Friedrich von Wieser Der natürliche Werth, 1889; English Natural Value, 1893 Austrian alternative-use/opportunity-cost reasoning और imputation। इसे “1893 में ही पूरा opportunity-cost concept पहली बार invented” न लिखें।
Alfred Marshall Principles of Economics, first edition 1890 Real costs, expenses of production, short/long periods, internal/external economies।
Jacob Viner “Cost Curves and Supply Curves,” Zeitschrift für Nationalökonomie, vol.3, 1931, pp.23–46 Classic cost/supply-curve analysis। Article है, book नहीं; later reprint dates अलग हैं।
P. W. S. Andrews Manufacturing Business, 1949 Manufacturing firms का cost/pricing analysis; modern cost-theory discussion में important association।
Ronald W. Shephard Cost and Production Functions, 1953, Princeton University Press Cost–production duality और Shephard’s Lemma। Shephard spelling याद रखें।

Memory ladder: Wieser 1889/1893 → Marshall 1890 → Viner 1931 → Andrews 1949 → Shephard 1953। नाम से अलग keyword जोड़ें: Wieser–Alternative, Marshall–Periods, Viner–Curves, Andrews–Manufacturing, Shephard–Derivative। Publication का year किसी पूरे multi-author field का single “invention year” नहीं होता।

9. Step-by-Step Solved Numericals — Easy → NET Advanced

सभी examples original practice हैं। इन्हें official PYQ के रूप में प्रस्तुत नहीं किया गया है। पहले cost category पहचानें, फिर formula, फिर relevant conditions।

Example 1: Explicit + Implicit = Economic Cost

Question: Sales ₹1,00,000; recorded business expenses ₹50,000। Owner की forgone salary ₹12,000 और own shop का forgone rent ₹8,000। Costs और profits निकालें।

  1. Step 1: Explicit/recorded cost = ₹50,000। Implicit cost = 12,000+8,000 = ₹20,000।
  2. Step 2: Economic cost = 50,000+20,000 = ₹70,000।
  3. Step 3: Accounting profit = 1,00,000−50,000 = ₹50,000। Economic profit = 1,00,000−70,000 = ₹30,000।

Final answer: Economic cost ₹70,000; economic profit ₹30,000। Normal return implicit figure में दिया हो तो दोबारा न जोड़ें।

Example 2: Opportunity Cost: best alternative

Question: एक ही समय में A से ₹30,000, B से ₹25,000 या C से ₹20,000 मिल सकते हैं। आपने C चुना। Opportunity cost क्या है?

  1. Step 1: Available alternatives mutually exclusive हैं: साथ-साथ नहीं कर सकते।
  2. Step 2: C चुनने पर छोड़े गए A और B में best feasible alternative A है।
  3. Step 3: Opportunity cost = ₹30,000; यह 30,000+25,000 नहीं। C का net advantage relative to A = 20,000−30,000 = −₹10,000।

Final answer: Opportunity cost ₹30,000; C की relative disadvantage ₹10,000।

Example 3: Sunk Cost और नया order

Question: Irrecoverable past advertising ₹1,00,000 है। नया order revenue ₹30,000 देगा; additional avoidable cost ₹25,000। Capacity available है और कोई alternative order नहीं। Accept करें?

  1. Step 1: Past advertising current choice से नहीं बदलती: sunk है।
  2. Step 2: Incremental gain = additional revenue−additional relevant cost = 30,000−25,000।
  3. Step 3: Gain ₹5,000 positive है; दिए assumptions में order accept करें। Historical ₹1,00,000 को इस order की extra cost न बनाएं।

Final answer: Accept; incremental contribution ₹5,000। Full historical accounts में profit/loss अलग हो सकता है।

Example 4: एक function से सभी costs

Question: TC=100+20Q+Q²। Q=10 पर TFC, TVC, AFC, AVC, AC और continuous MC निकालें।

  1. Step 1: TFC=100; TVC=20Q+Q²। Q10 पर TVC=200+100=300; TC=400।
  2. Step 2: AFC=100/10=10; AVC=300/10=30; AC=400/10=40।
  3. Step 3: MC=dTC/dQ=20+2Q। Q10 पर MC=40; यहाँ MC=AC।

Final answer: TFC100; TVC300; TC400; AFC10; AVC30; AC40; MC40।

Example 5: Discrete MC और derivative अलग

Question: Same TC=100+20Q+Q² में 10th unit का incremental cost और Q10 पर derivative MC निकालें।

  1. Step 1: 10th unit का cost = TC(10)−TC(9)। TC(10)=400; TC(9)=100+180+81=361।
  2. Step 2: Discrete MC for 9→10 = 400−361 = 39; ΔQ=1 है।
  3. Step 3: Derivative MC at Q10 = 20+2(10)=40। Difference interval का exact change है; derivative point slope है।

Final answer: Discrete 10th-unit MC ₹39; continuous MC at Q10 ₹40।

Example 6: MC minimum बनाम AVC minimum

Question: TC=32+18Q−6Q²+Q³। MC और AVC के minimum outputs निकालें।

  1. Step 1: TVC=18Q−6Q²+Q³; AVC=18−6Q+Q²; MC=18−12Q+3Q²।
  2. Step 2: dMC/dQ=−12+6Q=0 → Q2। Second derivative6>0; MC(2)=6।
  3. Step 3: dAVC/dQ=−6+2Q=0 → Q3। Second derivative2>0; AVC(3)=9।
  4. Step 4: Q3 पर MC=18−36+27=9=AVC। MC minimum Q2 पहले आया; AVC minimum Q3 बाद में।

Final answer: MC minimum: Q2, value₹6; AVC minimum: Q3, value₹9।

Example 7: AC minimum: equality plus test

Question: Same TC=32+18Q−6Q²+Q³ में minimum AC निकालें।

  1. Step 1: AC=32/Q+18−6Q+Q²; dAC/dQ=−32/Q²−6+2Q।
  2. Step 2: Q4 पर derivative = −2−6+8=0। Second derivative=64/Q³+2>0 for Q>0: AC strictly convex, minimum unique।
  3. Step 3: AC(4)=8+18−24+16=18। MC(4)=18−48+48=18।
  4. Step 4: Output sequence इस function में MC min2 → AVC min3 → AC min4 है।

Final answer: Minimum AC ₹18 at Q4; MC=AC=18।

Example 8: Fixed Cost double होने का effect

Question: TC=32+18Q−6Q²+Q³ में fixed cost32 से64 होती है। Q4 पर AC, AVC और MC की नई values?

  1. Step 1: Variable part unchanged। New AC=64/Q+18−6Q+Q²।
  2. Step 2: Q4 पर new AC=16+18−24+16=26; old AC18 था। Increase=32/4=8।
  3. Step 3: AVC at Q4=10 और MC at Q4=18 unchanged। Old Q4 अब new AC का minimum होना जरूरी नहीं।

Final answer: New AC₹26; AVC₹10; MC₹18। Fixed cost बदलने से MC नहीं बदली।

Example 9: Production–Cost bridge

Question: केवल labour variable है; wage w=₹120, MP_L=6 units और AP_L=4 units। MC और AVC?

  1. Step 1: Conditions check: one variable input, fixed capital, constant wage और positive MP।
  2. Step 2: MC=w/MP_L=120/6=20।
  3. Step 3: AVC=w/AP_L=120/4=30। MC<AVC, इसलिए उस point पर AVC falling है।

Final answer: MC₹20; AVC₹30; AVC falling।

Example 10: Cobb–Douglas: least-cost bundle

Question: Q=√(LK), target Q12, w4 और r9। Optimal L,K और minimum cost निकालें।

  1. Step 1: MP_L/MP_K=K/L। Interior condition K/L=w/r=4/9 → K=(4/9)L।
  2. Step 2: Target LK=144। Substitute: (4/9)L²=144 → L²=324 → L18; K8।
  3. Step 3: Cost=4(18)+9(8)=72+72=144। Check: √(18×8)=12।
  4. Step 4: C=2Q√(wr)=2×12×√36=144 भी वही answer देता है।

Final answer: L18, K8; minimum cost₹144।

Example 11: SR cost बनाम LR cost

Question: Same Q=√(LK), w4,r9,target Q12। Short run में K=4 fixed है। SR और LR cost compare करें।

  1. Step 1: Fixed K4: Q=2√L → L=Q²/4। Q12 पर L=144/4=36।
  2. Step 2: SR total cost = wL+rK = 4(36)+9(4)=180; SAC=180/12=15।
  3. Step 3: LR optimum previous result L18,K8: LTC144; LAC12।
  4. Step 4: SR≥LR: fixed plant constraint हटाने से target output सस्ते में बन सकता है। Fixed-capital service charge को दोनों में consistently include किया गया है।

Final answer: STC₹180 ≥ LTC₹144; SAC₹15 ≥ LAC₹12।

Example 12: Shephard’s Lemma से factor demands

Question: C(Q,w,r)=2Q√(wr)। Q10,w4,r9 पर L^c,K^c और C निकालें।

  1. Step 1: Labour demand = ∂C/∂w = Q√(r/w)। Value=10√(9/4)=15।
  2. Step 2: Capital demand = ∂C/∂r = Q√(w/r)। Value=10√(4/9)=20/3।
  3. Step 3: C=2×10×6=120। Euler check: wL+rK=4(15)+9(20/3)=60+60=120।

Final answer: L^c15; K^c20/3≈6.667; C₹120।

Example 13: Cost elasticity से economies पहचानें

Question: Long-run minimum cost C₹100, Q10 और MC₹8 है। E_C और scale index? Homogeneous production degree h=1.2 हो तो theoretical E_C?

  1. Step 1: AC=C/Q=100/10=10। E_C=MC/AC=8/10=0.8<1 → LAC locally falling।
  2. Step 2: इस post की index definition S=AC/MC=10/8=1.25>1।
  3. Step 3: अलग homogeneous-technology case में fixed input prices पर E_C=1/h=1/1.2=5/6≈0.8333।
  4. Step 4: पहले numeric observation और दूसरे theoretical case को एक ही dataset समझकर बराबर न करें।

Final answer: Observed E_C0.8, S1.25: economies; h1.2 case में E_C5/6।

Example 14: Economies of Scope numerical

Question: A को अकेले बनाने का cost50, B को अकेले80, jointly110 है। Scope saving और degree निकालें।

  1. Step 1: Separate total cost = 50+80=130। Joint cost110 इससे कम है।
  2. Step 2: Absolute saving = 130−110=20।
  3. Step 3: Defined scope degree = (130−110)/110=2/11≈0.1818=18.18%।
  4. Step 4: अगर question saving as percentage of separate cost पूछे, denominator130 होगा: 20/130≈15.38%; question का denominator पढ़ें।

Final answer: Economies of scope मौजूद; absolute saving20; defined degree18.18%।

Example 15: Shutdown और break-even prices

Question: Price-taking firm: TC=32+18Q−6Q²+Q³; fixed cost unavoidable। P8, P9 और P18 पर decision बताएं।

  1. Step 1: Earlier results: min AVC9 at Q3; min ATC18 at Q4। Shutdown threshold9; break-even18।
  2. Step 2: P8<min AVC9: shut down, Q0; unavoidable fixed-cost loss₹32।
  3. Step 3: P9: Q3 पर TR27; TVC27; TC59। Profit−32; shutdown में भी−32: indifferent।
  4. Step 4: P18: rising MC branch पर Q4। TR72; TC32+72−96+64=72; economic profit0।

Final answer: P8 shutdown; P9 indifferent at Q3; P18 break-even at Q4।

Example 16: Prices double: cost homogeneity

Question: Q=√(LK), Q12। Prices w4,r9 से w8,r18 होते हैं। Cost और optimal input quantities क्या होंगे?

  1. Step 1: All factor prices समान multiple2 से बढ़ी हैं; price ratio w/r unchanged।
  2. Step 2: Degree-one homogeneity in prices: new minimum cost = 2×144=288।
  3. Step 3: L^c=12√(18/8)=18 और K^c=12√(8/18)=8: same physical bundle।
  4. Step 4: Euler check: 8(18)+18(8)=288। Technology/output target unchanged हैं।

Final answer: New cost₹288; L18,K8 unchanged। Price homogeneity किसी भी production CRS assumption पर निर्भर नहीं।

10. Cost से firm decisions — Shutdown और Break-even ⭐

Standard price-taking short-run firm, unavoidable fixed cost और कोई additional avoidable fixed/start-up cost नहीं हो: Shutdown price=min AVC; Break-even price=min ATC। Relevant rising MC branch पर P=MC output देता है; global profitability और shutdown option भी compare करें।

  • P<min AVC: produce नहीं; Q=0 पर loss unavoidable TFC।
  • P=min AVC: operating और shutting down के बीच indifferent, usual conditions में।
  • min AVC<P<min ATC: loss के बावजूद operating बेहतर हो सकती है क्योंकि fixed cost का कुछ हिस्सा cover होता है।
  • P=min ATC: zero economic profit; normal return cost में covered है। Positive-profit range में P>relevant ATC।

⚠️ Condition पढ़ें: अगर fixed cost बंद करने पर avoid हो सकती है तो shutdown में average avoidable cost relevant होगा; min AVC shortcut mechanically न लगाएँ। Monopoly में MR=MC से output और demand से price आता है; “P=MC” हर market structure का rule नहीं।

11. ⚠️ Exam Traps और memory tricks

  1. Fixed cost बढ़ी: TC/AC/AFC ऊपर; given technology में TVC/AVC/MC unchanged।
  2. Wage बढ़ी: labour वाली variable cost/MC बदल सकती है; इसे fixed-cost shift न समझें।
  3. MC rising: AC का rising होना जरूरी नहीं; MC<AC हो तो AC falling।
  4. MC=AC: stationary average; usual upward crossing में minimum। Flat/irregular curves में equality alone enough नहीं।
  5. AC minimum ≠ profit maximum: profit output demand/revenue और cost दोनों पर depends करता है।
  6. Discrete MC ≠ derivative MC: ΔQ=1 के difference और dTC/dQ को बिना instruction interchangeable न रखें।
  7. Cost concave किसमें? Input prices में; output में always concave/convex नहीं।
  8. Price homogeneity ≠ production CRS: C में all input prices की degree 1 हर regular technology में; output degree technology पर depend करती है।
  9. LAC envelope: every SAC minimum को जोड़ना गलत।
  10. Returns vs Scale: “one input varies” = returns to variable factor; “all inputs scale” = RTS।
  11. Scope vs Scale: products साथ बनाना = Scope; same product का scale बढ़ाना = Scale।
  12. Conditional demand: output fixed; profit-maximising demand में output adjust हो सकती है।

Memory: “Marginal नीचे → Average नीचे; Marginal ऊपर → Average ऊपर।” “Price derivative → Input; Output derivative → MC।” “Fixed = output से नहीं बदलती; Sunk = आज के decision से नहीं बदलती।”

12. Final Revision Table — आखिरी 3 मिनट

Question trigger तुरंत recall
Economic cost Relevant explicit + implicit costs; opportunity return double count नहीं।
AFC shape TFC/Q; rectangular hyperbola, positive TFC में।
TC−TVC / AC−AVC TFC / AFC
Marginal cost ΔTC/ΔQ or dTC/dQ; fixed-cost derivative zero।
MC<AC / MC>AC AC falling / rising
U-shaped minima order MC → AVC → AC, conventional conditions में।
Product–cost bridge MC=w/MP; AVC=w/AP, one variable input और constant w।
LAC Lower envelope, every SAC minimum की joining line नहीं।
Cost elasticity / homogeneous RTS EC=MC/AC; EC=1/h under stated conditions।
Input-price properties Nondecreasing, concave, degree-one homogeneous।
Shephard’s Lemma ∂C/∂w=Lc; ∂C/∂r=Kc
Shutdown / Break-even min AVC / min ATC, standard competitive model।
Sunk cost Future incremental choice में irrelevant; current opportunity cost still relevant।

Sources / verification

Explanations और numerical models इस study post के लिए तैयार किए गए हैं। Basic relationships, duality और publication details को नीचे दिए textbook, university और bibliographic sources से cross-check किया गया है।

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