आगम का सिद्धांत (Revenue Theory) — Easy Notes, Graphs + Solved Numericals | UGC NET / UP PGT

by
MICROECONOMICS • UGC NET ECONOMICS / UP PGT

Revenue Theory को आसानी से समझें

आगम (Revenue) = goods/services बेचकर मिलने वाली रकम। इस chapter का central सवाल: एक extra unit बेचने से total income कितनी बदलती है? इसी से TR, AR, MR, demand elasticity और firm का output decision जुड़ते हैं।

7 accurate graphs16 step-by-step examplesBooks + yearsExam traps + revision

Syllabus link: uploaded UP PGT syllabus के “Cost and Revenue curves” को directly cover करता है; UGC NET Unit 1 के competitive/non-competitive markets और firm optimisation के लिए foundation व advanced extension देता है। ⭐ = high-priority concept, official weightage claim नहीं।

1. Basics: Total, Average और Marginal Revenue ⭐

Notation: Q = quantity actually sold, P = price per unit। Produced quantity और sold quantity अलग हों, तो revenue में sold quantity लें। यहाँ one period, one product और basic model में सभी units पर same price (uniform pricing) लिया गया है।

Concept Formula Simple meaning
Total Revenue — कुल आगम (TR) TR = P × Q सारी sales की रकम; total ₹ में।
Average Revenue — औसत आगम (AR) AR = TR/Q, Q>0 प्रति unit average earning; uniform price में AR=P।
Marginal Revenue — सीमांत आगम (MR) ΔTR/ΔQ; continuous model में dTR/dQ Output/sales बढ़ाने पर revenue का additional change; ₹ per unit।

Easy example: 10 notebooks ₹50 each में बिके → TR ₹500, AR ₹50। Same price पर 11वीं बेचने से TR ₹550 → MR ₹50। Cost इस calculation में नहीं आया; profit निकालने के लिए cost घटाना होगा।

Discrete MR: MR of nth unit = TR(n)−TR(n−1), जब ΔQ=1।
Continuous MR: TR curve की tangent slope = dTR/dQ।
AR: origin से TR point तक ray की slope = TR/Q।

यदि MR>AR, AR बढ़ता है; MR<AR हो तो AR घटता है। Continuous identity: dAR/dQ = (MR−AR)/Q। AR का smooth interior extremum हो तो MR=AR; equality अकेले maximum/minimum तय नहीं करती।

⚠️ Q=0 पर AR = 0/0 undefined, zero नहीं। Standard no-sale revenue model में TR(0)=0। Discrete interval MR और endpoint derivative MR अलग हो सकते हैं।

2. Perfect Competition: firm के लिए P = AR = MR ⭐

Price-taking firm market price को given मानती है। अपनी sales बदलने पर price नहीं बदलता: TR=P̄Q। इसलिए TR origin से straight upward line और AR/MR horizontal coincident lines हैं।

Competitive firm: TR = 40QGiven price40, TR rises linearly through origin. At Q15 revenue600.Competitive firm: TR = 40QTotal revenue (₹)020040060080005101520(15,600)TRQ: quantity soldConstant slope40 = MR; no finite interior TR peak
Graph 1. Original example: given P₹40। Q15 पर TR₹600; TR की slope40 है। Horizontal axis quantity sold और vertical axis total ₹ है।
Competitive firm: P = AR = MRAt price40, firm demand AR and MR coincide horizontally. Market demand is different.Competitive firm: P = AR = MR₹ per unit02040608005101520P = AR = MR = 40Q: quantity soldIndividual price-taking firm: horizontal AR and MR
Graph 2. Same competitive firm: given P40 पर AR और MR exactly coincide। Vertical axis ₹ per unit है। यह market demand का graph नहीं।
⚠️ Horizontal demand individual competitive firm की है। पूरे market की demand को horizontal मत मानें। P>0 और unlimited feasible Q वाले basic revenue function का कोई finite interior TR maximum नहीं; costs/capacity output को सीमित करते हैं।

3. Downward demand: MR price से कम क्यों? ⭐

Uniform-price seller को extra quantity बेचने के लिए price कम करना पड़े, तो नया lower price पुरानी units पर भी लागू होता है। Extra unit से earning आती है, लेकिन previous units से revenue घटता है। Net addition ही MR है।

मानें 5 units ₹100 each → TR500। 6 units बेचने के लिए सभी units का price ₹90 करना पड़े → TR540। छठी unit का MR 540−500=₹40 है; new price ₹90 नहीं। पुरानी 5 units पर ₹50 revenue loss भी हुआ।

General uniform-price relation:
TR(Q)=Q·P(Q)
MR=P(Q)+Q·P′(Q)
P′(Q)<0 और Q>0 ⇒ MR<P=AR।
Linear inverse demand: AR=P=a−bQ, a,b>0
TR=aQ−bQ²; MR=a−2bQ।
Linear demand: AR = 100−Q; MR = 100−2QAR intersects Qaxis100; MR intersects50 and becomes negative. Both vertical intercept100.Linear demand: AR = 100−Q; MR = 100−2QPrice / marginal revenue (₹)-100-500501000255075100AR = PMRMR < 0E=1E>1: Q<50E<1: Q>50Q: quantity soldHalfway intercept and double slope apply to linear AR
Graph 3. P=AR=100−Q; MR=100−2Q। AR का Q-intercept100; MR का50। Q50 पर AR50 लेकिन MR0। Dashed guides curve नहीं हैं; MR की negative portion x-axis के नीचे दिखाई गई है। Q0 पर AR intercept limiting inverse-demand price है; actual TR/Q undefined है।

Linear graph rules: AR और MR का same vertical intercept a; MR की absolute slope 2b, AR की b। MR का quantity intercept a/(2b), AR का a/b। इसलिए MR, AR के horizontal intercept के halfway पर zero होता है। यह rule straight-line demand का है।

Linear demand: TR = 100Q−Q²Revenue rises to Q50 TR2500, then falls to0 atQ100. Continuous marginal revenue is slope.Linear demand: TR = 100Q−Q²Total revenue (₹)050010001500200025000255075100Maximum TRMR>0; E>1MR<0; E<1Q: quantity soldAt Q50: MR0 and maximum TR2500; P50
Graph 4. Same P100−Q model: TR100Q−Q²। Maximum atQ50,TR2500; dashed horizontal tangent की slope0 है। Left half elastic, right half inelastic। इस inverted-U shape को हर nonlinear demand पर लागू न करें।

यहाँ P=100−Q: Q50 पर MR0, P50 और TR2500। Q बढ़ाते समय TR पहले बढ़ती, फिर घटती है। AR positive रहते हुए MR negative हो सकती है; इसका मतलब total revenue negative होना नहीं, extra sales से revenue घटना है।

4. Elasticity–Revenue relation: सबसे useful MCQ formula ⭐

Normal downward-sloping demand की signed price elasticity ε=(dQ/dP)(P/Q)<0 है। Exam में अक्सर magnitude E=|ε|=−ε>0 इस्तेमाल होती है। इस post में E positive magnitude है।

Positive magnitude convention: MR=P(1−1/E)
Signed convention: MR=P(1+1/ε)
Reverse formula: E=P/(P−MR)=AR/(AR−MR)।
Conditions: uniform pricing, Q>0, P>0, differentiable downward demand; point elasticity और corresponding continuous MR।

Derivation: ε=(dQ/dP)(P/Q) ⇒ Q(dP/dQ)=P/ε। इसे MR=P+Q(dP/dQ) में डालें → MR=P(1+1/ε)। ε=−E डालने पर positive-E formula मिलता है।

Demand region MR Q बढ़ने पर TR Small price cut का effect
Elastic: E>1 Positive बढ़ती TR बढ़ती
Unit elastic: E=1 Zero Point पर stationary First-order change zero
Inelastic: 0<E<1 Negative घटती TR घटती
Perfectly elastic: E→∞ MR→P Positive P में बढ़ती Firm price-taking limit

Price increase: elastic region में TR घटती; inelastic region में TR बढ़ती। Large price changes के लिए endpoints से TR calculate करें; एक point की elasticity को पूरी range पर constant मत मानें।

⚠️ MR0 ⇒ stationary TR; maximum कहने के लिए MR का + से − crossing या TR″<0 चाहिए। पूरी unit-elastic demand Q=A/P में TR=A हर Q पर constant है; केवल एक isolated peak नहीं। Perfectly inelastic demand E0 पर formula division by zero देता है: finite MR मत निकालें।

5. Revenue maximum और Profit maximum अलग हैं ⭐

Objective Interior first-order condition Local strict maximum test
Revenue max: maximise TR MR=0 TR″=MR′<0
Profit max: maximise π=TR−TC MR=MC π″=MR′−MC′<0

Boundary/capacity choices और multiple candidate points हों तो feasible profits/revenues compare करें। Smooth interior equality हर case का universal rule नहीं। Total curves में profit TR−TC का vertical gap है; maximum profit point पर TR और TC की slopes equal होती हैं।

Different outputs: profit max40, revenue max50TR100Q−Q² and TC100+20Q. AtQ40 slopes20 and profit1500. TRmax atQ50,profit1400.Different outputs: profit max40, revenue max50Total revenue / total cost (₹)05001000150020002500300002040506080Profit gap1500TRTCTR maxQ: quantity soldQ40: maximum profit1500; Q50: maximum revenue2500
Graph 5. Same TR100Q−Q² और illustrative TC100+20Q। Q40 पर TR2400,TC900, maximum vertical profit gap1500। Q50 पर TR2500 highest, लेकिन profit1400। Revenue और profit peaks अलग हैं।

Same model: P100−Q, TC100+20Q। Profit output40 और revenue output50 है। Positive MC के साथ standard downward-demand interior optimum में MR>0, इसलिए profit-maximising uniform-price monopolist elastic region E>1 में होता है। MC0 हो तो E1 सम्भव है। “Monopolist हमेशा inelastic region पर produce करता है” गलत है।

Lerner Index: L=(P−MC)/P
Uniform-price, single-product interior profit optimum में:
MR=MC ⇒ L=1/E।
MC>0 और E>1 में pricing formula: P=MC/(1−1/E)।
Demand अधिक elastic हो तो inverse-elasticity markup कम होता है, other conditions same।
⚠️ (P−MC)/P price पर markup share है; (P−MC)/MC cost पर markup percentage है। Denominator अलग है। Lerner index अधिक होने से accounting profit अवश्य अधिक होगा—यह निष्कर्ष नहीं; fixed cost और quantity भी matter करते हैं।

6. Advanced theory: NET-level extensions

6.1 Constant-elasticity demand (Isoelastic)

Q=A·P−E, A,E>0
P=A1/EQ−1/E
TR=A1/EQ1−1/E
MR=(1−1/E)P।

E>1 में TR monotonically बढ़ती; E1 में constant; E<1 में घटती, Q>0 domain पर। Downward AR होने से TR का shape हमेशा inverted-U नहीं होता। Nonlinear demand में linear “MR slope double” shortcut नहीं लगाना।

Nonlinear AR: P=100/√Q; E=2Q10000/P², constant elasticity2. MR50/√Q=P/2; TR100√Q increases for allQpositive.Nonlinear AR: P=100/√Q; E=2₹ per unit01020304050600255075100ARMRQ: quantity soldMR is half of AR here; linear double-slope rule fails
Graph 6. Original isoelastic example Q10000/P²। AR100/√Q और MR50/√Q; Q25 पर AR20,MR10। Curves Q4 से दिखाई हैं; Q0 पर undefined हैं, origin intercept invent न करें। TR100√Q continuously rising है।

6.2 अलग market structures

Market / pricing Revenue implication
Perfect competition: individual firm P=AR=MR; given positive price में TR linear।
Uniform-price monopoly Downward AR; MR<AR; choose Q using MR=MC, then P from AR।
Monopolistic competition Differentiated product से own downward demand; standard uniform pricing में MR<AR। Long-run zero economic profit का मतलब zero revenue नहीं।
Oligopoly Revenue rival behaviour/model पर depend करती है। सभी oligopolies के लिए एक universal AR/MR shape नहीं।
Perfect first-degree discrimination हर incremental unit की willingness to pay collect होती है; continuous TR=∫₀Q P(x)dx और MR=P(Q)। AR=TR/Q average collected price है; last unit की price से generally अलग।

Discrimination में resale रोकना/markets अलग करना और buyers की willingness to pay जानना जैसे conditions matter करते हैं। Basic uniform-price TR=P(Q)Q को perfect discrimination की revenue integral के साथ mix न करें।

6.3 Sweezy kinked demand: MR में gap

Given prevailing price पर firms मानती हैं कि price rise rivals follow नहीं करेंगे, इसलिए customers अधिक switch करेंगे: upper segment more elastic। Price cut rivals match करेंगे: lower segment less elastic। AR continuous kink बनाती है और MR discontinuous gap।

Kinked AR: continuous; MR has a gapAR70−Q forQ≤10,100−4Q forQ≥10. KinkQ10,P60. MR left50,right20. MC35 within gap.Kinked AR: continuous; MR has a gapPrice / MR / MC (₹)-20020356080100051015ARLeft MRK(10,60)Gap20–50MC35Right MRQ: quantity soldAt kink Q10,P60: left MR50 > MC35 > right MR20
Graph 7. Illustrative piecewise AR: above kink70−Q, below kink100−4Q; kinkQ10,P60। Associated MR70−2Q और100−8Q, one-sided limits50 और20। Dotted vertical gap missing derivative values दिखाता है; solid MR segment नहीं। MC35 gap में है।

Graph में Q10, P60। Left MR limit50, right MR limit20। MC35 इस gap में है; output/price same रह सकते हैं। Kink पर ordinary derivative defined नहीं: left/right conditions MRleft≥MC≥MRright use करें। Model price rigidity समझाता है, initial prevailing price क्यों60 है यह अपने आप explain नहीं करता।

6.4 Baumol Sales-Revenue Maximisation

Manager का objective sales revenue maximise करना हो सकता है, लेकिन minimum acceptable profit π̄ भी चाहिए: max TR(Q), subject to π(Q)≥π̄। Sales revenue “₹ turnover” है, केवल physical units Q नहीं।

Unconstrained TR maximum profit requirement satisfy करे तो smooth interior MR0 optimum हो सकता है। Requirement binding हो, तो constrained optimum unconstrained peak से पहले आ सकता है और MR positive हो सकती है। नीचे Example16 इसे exact numbers से समझाता है।

7. कौन, कब, कौन-सी book/publication? ⭐

Revenue theory किसी एक economist का single-year invention नहीं। नीचे contributions और first-publication years दिए हैं; later reprints को original year न समझें।

Economist Year Book / publication इस chapter से connection
Alfred Marshall 1890 Principles of Economics Demand elasticity और price/value analysis की foundational treatment।
Joan Robinson 1933 The Economics of Imperfect Competition Imperfect competition, monopoly और marginal-revenue analysis; AR–MR–elasticity relation से प्रमुख association।
Edward H. Chamberlin 1933 The Theory of Monopolistic Competition Product differentiation; individual seller की own demand/revenue। Robinson की book अलग है।
Abba P. Lerner 1934 “The Concept of Monopoly and the Measurement of Monopoly Power”, The Review of Economic Studies 1(3), 157–175 Price–marginal-cost gap का relative measure: Lerner Index।
Paul M. Sweezy 1939 “Demand Under Conditions of Oligopoly”, Journal of Political Economy 47(4), 568–573 Kinked-demand explanation; discontinuous MR और price rigidity।
R. L. Hall & C. J. Hitch 1939 “Price Theory and Business Behaviour”, Oxford Economic Papers, 12–45 Independent contemporary kinked-demand discussion; business pricing/full-cost behaviour।
William J. Baumol 1959 Business Behavior, Value and Growth Sales-revenue maximisation with minimum-profit constraint।

Memory chain: “33 में Robinson–Chamberlin pair; 34 Lerner markup; 39 Sweezy और Hall–Hitch kink; 59 Baumol sales।”

8. 16 Step-by-step Solved Examples

ये original practice examples हैं, verified official PYQs नहीं। हर solution में पहले model/sign convention देखें, फिर formula, substitution और answer। ₹ values model examples हैं।

Example 1: Constant price: TR, AR, MR

Question: Price-taking firm price ₹40 पर 15 units बेचती है। TR, AR और 16th unit का MR निकालें।

  1. Step 1: TR=P×Q=40×15=600।
  2. Step 2: AR=600/15=40। Price unchanged है; TR(16)=40×16=640।
  3. Step 3: 16th-unit MR=640−600=40। Continuous MR=d(40Q)/dQ=40 भी है।

Final answer: TR₹600; AR₹40; MR₹40। Firm-level P=AR=MR।

Example 2: Sales table से MR

Question: Q1,2,3,4 पर uniform prices क्रमशः ₹100,90,80,70 हैं। TR और प्रत्येक unit का discrete MR निकालें; TR(0)=0।

  1. Step 1: TR list: 1×100=100; 2×90=180; 3×80=240; 4×70=280।
  2. Step 2: MR₁=100−0=100; MR₂=180−100=80; MR₃=240−180=60; MR₄=280−240=40।
  3. Step 3: Q4 पर AR=280/4=70; fourth-unit MR40<AR70। MR sum=100+80+60+40=280=TR4।

Final answer: TR: 100,180,240,280; MR: 100,80,60,40।

Example 3: ΔQ एक से अधिक हो

Question: Sales 20 से25 units और TR₹1,000 से₹1,200 होती है। Interval MR per unit क्या है?

  1. Step 1: ΔQ=25−20=5; ΔTR=1200−1000=200।
  2. Step 2: Average incremental revenue per extra unit = ΔTR/ΔQ=200/5=40।
  3. Step 3: ₹200 पूरे block का change है; ₹40 per unit interval value। Individual five units का MR data से अलग-अलग नहीं मिलता।

Final answer: Interval MR₹40 per unit; total additional revenue₹200।

Example 4: Linear inverse demand

Question: P=100−2Q। Q10 पर TR, AR और continuous MR?

  1. Step 1: AR=P=100−2(10)=80। TR=PQ=80×10=800।
  2. Step 2: TR(Q)=100Q−2Q² → MR=100−4Q।
  3. Step 3: Q10 पर MR=100−40=60। Extra sales पर सभी units का price कम होता है, इसलिए MR<AR।

Final answer: TR₹800; AR₹80; continuous MR₹60।

Example 5: 10th unit बनाम Q10 का derivative

Question: Same TR=100Q−2Q² में 10th-unit discrete MR और point MR at Q10 compare करें।

  1. Step 1: TR(10)=800; TR(9)=900−162=738।
  2. Step 2: 10th-unit MR=800−738=62; यह interval 9→10 का exact change है।
  3. Step 3: Point derivative MR(10)=100−4(10)=60। Linear MR में interval average midpoint Q9.5 पर value62 है।

Final answer: Discrete MR₹62; continuous endpoint MR₹60। दोनों अपनी definitions में सही हैं।

Example 6: Maximum revenue का output और price

Question: P=100−Q; feasible Q0 से100। Maximum TR निकालें।

  1. Step 1: TR=100Q−Q²; MR=100−2Q। MR0 ⇒ Q50।
  2. Step 2: TR″=−2<0; पूरे interval पर concave TR, इसलिए Q50 global maximum।
  3. Step 3: P=100−50=50; maximum TR=50×50=2500। Q0 औरQ100 पर TR0 है।

Final answer: Revenue-max Q50, P₹50, TR₹2,500; वहाँ E1।

Example 7: Elasticity से MR

Question: Uniform-price seller: P₹120 और positive elasticity magnitude E4। Continuous MR?

  1. Step 1: Magnitude convention है: MR=P(1−1/E)।
  2. Step 2: MR=120(1−1/4)=120×3/4=90।
  3. Step 3: E4>1 → MR positive; Q बढ़ाने पर TR locally बढ़ती है।

Final answer: MR₹90। Price minus MR = ₹30, अर्थात P/E।

Example 8: AR और MR से elasticity

Question: Uniform price ₹90 और point MR₹30 है। Demand elasticity magnitude निकालें।

  1. Step 1: AR=P=90। E=AR/(AR−MR)।
  2. Step 2: E=90/(90−30)=90/60=1.5।
  3. Step 3: Check: 90(1−1/1.5)=30; demand elastic है।

Final answer: E=1.5; signed ε=−1.5।

Example 9: Signed elasticity में सही sign

Question: P₹150 और signed price elasticity ε=−3। MR?

  1. Step 1: Negative signed ε दिए जाने पर MR=P(1+1/ε)।
  2. Step 2: MR=150(1−1/3)=150×2/3=100।
  3. Step 3: Equivalent positive magnitude E3 में minus formula से same100 आता है। ε−3 को minus-E formula में directly डालने से गलत200 आएगा।

Final answer: MR₹100; positive E3 और signed ε−3 को अलग रखें।

Example 10: Large price change: TR और arc elasticity

Question: Price ₹100→₹90 होने पर Q50→65। Exact TR change और midpoint arc elasticity magnitude?

  1. Step 1: Old TR=100×50=5000; new TR=90×65=5850। Change850; percentage=850/5000=17%।
  2. Step 2: Midpoint Q=(50+65)/2=57.5; midpoint P=(100+90)/2=95।
  3. Step 3: E_arc=|(15/57.5)/(−10/95)|=57/23≈2.478।
  4. Step 4: Finite interval elastic है और price cut से exact TR बढ़ी। Arc E को endpoint derivative-MR formula में डालकर exact point MR claim न करें।

Final answer: TR₹850 अर्थात17% बढ़ी; midpoint arc E≈2.478।

Example 11: Revenue maximum बनाम profit maximum

Question: P=100−Q; TC=100+20Q। Revenue-max और profit-max outputs, prices और profits compare करें।

  1. Step 1: MR=100−2Q; MC20। Profit condition MR=MC ⇒ 100−2Q=20 ⇒ Q40। π″=−2<0।
  2. Step 2: At Q40: P60, TR2400, TC900, profit1500। Demand E=P/(P−MR)=60/40=1.5।
  3. Step 3: Revenue condition MR0 ⇒ Q50। At Q50: P50, TR2500, TC1100, profit1400।
  4. Step 4: Revenue higher2500 है, लेकिन profit lower1400। Both objectives अलग output चुनते हैं।

Final answer: Profit max: Q40,P60,π1500। Revenue max: Q50,P50,TR2500,π1400।

Example 12: Lerner Index और दो markup percentages

Question: Uniform-price interior profit optimum में P₹80,E4। MC, Lerner share और cost-based markup?

  1. Step 1: L=1/E=1/4=0.25। इसलिए (80−MC)/80=0.25 ⇒ MC60।
  2. Step 2: Price-based share=(80−60)/80=25%।
  3. Step 3: Cost-based markup=(80−60)/60=1/3≈33.33%। Denominator बदलने से percentage बदलती है।

Final answer: MC₹60; Lerner index0.25 यानी25%; markup on MC33.33%।

Example 13: Isoelastic demand: nonlinear AR

Question: Q=10,000/P²। Q25 औरQ100 पर P,TR,MR निकालें।

  1. Step 1: Inverse demand P=100/√Q; E2 constant। MR=(1−1/2)P=P/2।
  2. Step 2: Q25: P20, TR20×25=500; MR10।
  3. Step 3: Q100: P10, TR10×100=1000; MR5।
  4. Step 4: TR=100√Q increasing है; MR positive पर falling। इस demand में finite interior revenue peak नहीं और MR slope double वाला linear rule नहीं।

Final answer: At Q25: P20,TR500,MR10। At Q100: P10,TR1000,MR5।

Example 14: MR से TR recover करें

Question: Continuous MR=60−4Q और TR(0)=0। TR,AR निकालें; Q5 पर values?

  1. Step 1: MR=dTR/dQ; integrate: TR=60Q−2Q²+C।
  2. Step 2: TR(0)=0 ⇒ C0। Q>0 पर AR=TR/Q=60−2Q।
  3. Step 3: Q5: TR300−50=250; AR50; MR60−20=40। Integration constant को ignore करने से पहले boundary condition check करें।

Final answer: TR=60Q−2Q²; AR=60−2Q। At Q5: TR250,AR50,MR40।

Example 15: Uniform price बनाम perfect discrimination

Question: Inverse willingness-to-pay P(Q)=100−Q। Q10 तक uniform pricing और perfect first-degree discrimination का TR,AR,continuous MR compare करें।

  1. Step 1: Uniform price: last-unit price90 सभी units पर। TR=90×10=900; AR90; MR=100−2Q=80।
  2. Step 2: Perfect discrimination: TR=∫₀¹⁰(100−x)dx=1000−50=950।
  3. Step 3: Discrimination AR=950/10=95; MR=P(10)=90। पुराने units का price reduce नहीं किया गया।
  4. Step 4: यह prescribed Q10 पर revenue comparison है; optimal Q बताने के लिए cost function चाहिए।

Final answer: Uniform: TR900,AR90,MR80। Perfect discrimination: TR950,AR95,MR90।

Example 16: Baumol: binding minimum-profit constraint

Question: P=100−Q; TC=100+20Q। Sales revenue maximise करें, subject to profit≥₹1,464; feasible Q0 से100।

  1. Step 1: Profit=100Q−Q²−100−20Q=80Q−Q²−100=1500−(Q−40)²।
  2. Step 2: Requirement: 1500−(Q−40)²≥1464 ⇒ (Q−40)²≤36 ⇒ feasible Q34 से46।
  3. Step 3: Unconstrained revenue max Q50 इस feasible range से बाहर है। TR range34–46 में rising है, इसलिए constrained optimum largest feasible Q46।
  4. Step 4: At Q46: P54; TR54×46=2484; TC100+920=1020; profit1464। MR100−92=8>0; constraint binds।

Final answer: Constrained revenue-max Q46,P54,TR2484,π1464; MR8, zero नहीं।

9. ⚠️ Exam Traps + Memory Tricks

  1. Revenue ≠ Profit: profit=TR−TC। Zero economic profit में revenue positive हो सकती है।
  2. AR=P condition: same price on all units; multi-price sales में AR weighted average है।
  3. MR का “extra”: नया unit price नहीं, total revenue का net change।
  4. Linear restriction: same intercept + double MR slope shortcut सिर्फ linear AR के लिए।
  5. MR negative: TR falling है; TR negative होना जरूरी नहीं।
  6. Zero MR: TR stationary; second-order/sign/boundary check करें।
  7. Elasticity signs: E positive हो तो minus; ε negative हो तो plus।
  8. Firm vs industry: competitive firm की demand horizontal; industry की नहीं।
  9. Optimum की price: MR=MC से Q निकालें; monopoly P को AR में substitute करके निकालें। MR को price मत कहें।
  10. Discrete vs derivative: nth-unit MR=TR(n)−TR(n−1); point MR=dTR/dQ।
  11. Baumol: binding profit constraint हो तो MR0 आवश्यक नहीं।
  12. Kink: MR gap को continuous vertical “available MR curve” या smooth derivative मत समझें; dotted gap missing values दिखाता है।

3 quick memory lines: “Total = P×Q; Average = Total/Q; Marginal = Total का change।” “Elastic–Extra revenue; Unit–Unchanged at point; Inelastic–Income घटे when Q rises।” “Revenue का R → MR0; Profit का cost साथी → MR=MC।”

10. Final Revision Table ⭐

Trigger in MCQ Immediate answer / check
Uniform-price sales TR=PQ; AR=P; MR=P+QP′।
Price-taking firm AR=MR=P; TR line through origin।
AR=a−bQ TR=aQ−bQ²; MR=a−2bQ।
Linear maximum TR Q=a/(2b); P=a/2; TR=a²/(4b)।
Given P and E>0 MR=P(1−1/E)।
Given P and signed ε<0 MR=P(1+1/ε)।
Given AR and MR E=AR/(AR−MR), valid point model में।
MR>0 / =0 / <0 TR rising / stationary / falling with Q।
MR<AR AR falling; dAR/dQ=(MR−AR)/Q।
Profit optimum MR=MC; MR′−MC′<0; compare boundaries।
Lerner at uniform-price optimum (P−MC)/P=1/E।
Q=A/P E1; MR0; TR constant A।
Perfect price discrimination TR=∫P(x)dx; MR=P(Q); AR average collected price।
Baumol minimum profit binds Constrained max revenue; MR can be positive।
Sweezy kink Continuous AR, discontinuous MR; MC may move within gap।
Cost + Revenue साथ revise करें — Cost Theory Notes खोलें →

Profit optimisation के MCQ में revenue और cost दोनों curves साथ पढ़ें।

Sources & factual cross-check

Syllabus coverage uploaded UGC NET Economics और UP PGT Economics copies से mapped है। Explanations, illustrative functions, graphs और solved examples इस study post के लिए independently prepared हैं। Concept और bibliographic details नीचे cross-check किए गए हैं:

Leave a Reply