गेम थ्योरी — सरल हिंदी Notes और चरणबद्ध Numerical MCQs | UGC NET एवं UP PGT

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UGC NET अर्थशास्त्र • UP PGT के अल्पाधिकार का उपयोग • सरल हिंदी

गेम थ्योरी: दूसरे का निर्णय ध्यान में रखकर अपना निर्णय लेना

दो दुकानदार कीमत घटाएँ या बनाए रखें? नई फर्म बाजार में प्रवेश करे या बाहर रहे? गेम थ्योरी ऐसे निर्णयों को समझाती है जिनमें आपका परिणाम आपके साथ दूसरे के निर्णय पर भी निर्भर है। पहले तालिका पढ़ना सीखें, फिर रणनीति और संतुलन; इसके बाद 18 MCQ/numerical के चरणबद्ध हल पढ़ें।

पाठ्यक्रम: UGC NET की सूक्ष्म अर्थशास्त्र इकाई में असहकारी खेल स्पष्ट रूप से शामिल हैं। दिए गए UP PGT पाठ्यक्रम में गेम थ्योरी अलग शीर्षक से नहीं है; इसके कूर्नो, स्टैकेलबर्ग और कार्टेल वाले उपयोग द्वयाधिकार–अल्पाधिकार समझने में सहायक हैं। Bayesian तथा उन्नत मिश्रित रणनीति को मुख्यतः NET विस्तार मानें।

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सीखने के लिए नीचे हल किए उदाहरण; स्वयं अभ्यास के लिए अलग टेस्ट पोस्ट।

1. बिना कठिन गणित के मूल बात समझें

अपने निर्णय का अच्छा परिणाम निकालने के लिए जब दूसरे के निर्णय का भी अनुमान चाहिए, तो यह रणनीतिक अंतःक्रिया है। खेल के चार प्रमुख तत्व हैं: खिलाड़ी, रणनीतियाँ, सूचना/निर्णय का क्रम और प्रतिफल। प्रतिफल लाभ, आय या उपयोगिता हो सकता है; वह हमेशा रुपयों में नहीं होता।

शब्द सरल अर्थ ध्यान रखें
खिलाड़ी स्वतंत्र निर्णय लेने वाला व्यक्ति/फर्म दो या अधिक हो सकते हैं
चाल/कार्य किसी निर्णय-बिंदु पर चुना विकल्प जैसे प्रवेश करना
रणनीति हर संभव संबंधित परिस्थिति में क्या करना है, इसकी पूरी योजना क्रमिक खेल में एक चाल से अधिक विस्तृत
प्रतिफल रणनीतियों के मिलने पर प्रत्येक को मिलने वाला परिणाम तालिका में अपने प्रतिफल की तुलना करें
सर्वोत्तम प्रतिक्रिया दूसरे की रणनीति दी हुई हो तो अपना प्रतिफल अधिकतम करने वाली रणनीति एक से अधिक भी हो सकती है
असहकारी खेल व्यक्तिगत रणनीतियों और प्रोत्साहनों का विश्लेषण; लागू कराने योग्य बाध्यकारी गठबंधन आधार नहीं इसका अर्थ संवाद या सहयोग कभी संभव नहीं, ऐसा नहीं

तालिका पढ़ने का स्थायी नियम

दो-खिलाड़ी तालिका में पंक्तियाँ खिलाड़ी A और स्तंभ खिलाड़ी B के विकल्प हों। हर खाने में (A का प्रतिफल, B का प्रतिफल) लिखें। जैसे (2,5) में A को 2 और B को 5 मिलता है।

स्मृति संकेत: A के लिए एक स्तंभ के भीतर ऊपर–नीचे तुलना; B के लिए एक पंक्ति के भीतर बाएँ–दाएँ तुलना।
तुलना में A केवल पहली संख्या और B केवल दूसरी संख्या देखता है।

एक साथ खेल में निर्णय के समय दूसरे की वर्तमान पसंद ज्ञात नहीं होती; घड़ी पर ठीक एक ही पल निर्णय लेना जरूरी नहीं। क्रमिक खेल में पहले और बाद में निर्णय होते हैं। पूर्ण सूचना में खेल की प्रासंगिक संरचना, प्रतिफल और प्रकार ज्ञात हैं। परिपूर्ण सूचना वाले क्रमिक खेल में हर चाल पर खिलाड़ी पिछले सभी संबंधित कार्य देखता है। ये दोनों अलग अवधारणाएँ हैं।

2. प्रभुत्वशाली और प्रभुत्वित रणनीति

यदि A की U रणनीति, B के हर विकल्प पर D से कड़ाई से अधिक प्रतिफल देती है, तो U, D को कड़ाई से प्रभुत्वित करती है। यदि U सभी प्रतिद्वंद्वी रणनीतियों से स्वतंत्र होकर A के सभी अन्य विकल्पों से श्रेष्ठ है, तो वह कड़ाई से प्रभुत्वशाली रणनीति है।

कमजोर प्रभुत्व: हर स्थिति में कम-से-कम उतना अच्छा और कम-से-कम एक स्थिति में कड़ाई से बेहतर। बराबरी वाले खाने को कड़े प्रभुत्व में न गिनें। कड़ाई से प्रभुत्वित रणनीति नैश संतुलन में सकारात्मक संभावना से नहीं खेली जाती। कमजोर प्रभुत्वित रणनीति कुछ नैश संतुलनों में मौजूद हो सकती है।

असंभव-से लगने वाले बड़े खेल को छोटा करने के लिए कड़ाई से प्रभुत्वित रणनीतियाँ क्रम से हटाएँ। कभी दो शुद्ध रणनीतियों का मिश्रण किसी तीसरी को कड़ाई से प्रभुत्वित कर सकता है, जबकि अकेली कोई शुद्ध रणनीति ऐसा न करे। कमजोर प्रभुत्व को बिना सावधानी हटाने से नैश संतुलन खो सकते हैं और परिणाम हटाने के क्रम पर निर्भर हो सकता है।

3. नैश संतुलन: “दूसरा न बदले तो मैं अकेले बदलकर लाभ नहीं बढ़ा सकता”

नैश संतुलन में प्रत्येक खिलाड़ी की रणनीति दूसरे की रणनीति की सर्वोत्तम प्रतिक्रिया है। किसी खिलाड़ी को अकेले विचलन करके अधिक प्रतिफल नहीं मिलता। इसका अर्थ यह नहीं कि दोनों का संयुक्त लाभ अधिकतम है, या कोई अधिक अच्छा सामूहिक परिणाम संभव नहीं।

  1. हर स्तंभ में A की पहली संख्या का अधिकतम चिन्हित करें; बराबरी हो तो दोनों चिन्हित करें।
  2. हर पंक्ति में B की दूसरी संख्या का अधिकतम चिन्हित करें।
  3. जिस खाने में दोनों की सर्वोत्तम प्रतिक्रियाएँ मिलें, वह शुद्ध नैश संतुलन है।
  4. ऐसा खाना न मिले, तो मिश्रित रणनीतियों की जाँच करें।

⭐ सबसे महत्वपूर्ण: प्रभुत्वशाली रणनीतियों से बने संतुलन नैश हैं; हर नैश में प्रभुत्वशाली रणनीति जरूरी नहीं। नैश अद्वितीय होना जरूरी नहीं; शुद्ध नैश का अस्तित्व भी हर खेल में जरूरी नहीं। प्रत्येक सीमित खेल में कम-से-कम एक नैश संतुलन मिलता है जब मिश्रित रणनीतियाँ स्वीकार हों।

कैदी की दुविधा

इतिहास: मेरिल फ्लड और मेल्विन ड्रेशर का RAND में 1950 का प्रयोग इस मॉडल की शुरुआत से जुड़ा है। अल्बर्ट टकर ने कैदियों की कहानी वाला प्रसिद्ध रूप दिया। इसका अर्थ नैश ने यह कहानी बनाई, ऐसा नहीं है।

प्रत्येक खिलाड़ी की धोखा/गैर-सहयोग रणनीति प्रभुत्वशाली हो, लेकिन दोनों के सहयोग का प्रतिफल दोनों के गैर-सहयोग से बेहतर हो, तो कैदी की दुविधा का मानक ढाँचा मिलता है। सामान्य प्रतीक: धोखे का लाभ T, पारस्परिक सहयोग R, पारस्परिक गैर-सहयोग P और अकेले सहयोग का नुकसान S; T > R > P > S। कुछ पुनरावृत्त उदाहरण अतिरिक्त 2R > T + S भी रखते हैं।

⚠️ परीक्षा जाल: “नैश = दोनों को अधिकतम संयुक्त लाभ”, “नैश = हमेशा प्रभुत्वशाली रणनीति” और “शुद्ध नैश नहीं तो खेल का कोई संतुलन नहीं”—तीनों गलत हैं। Pareto सुधार में किसी को खराब किए बिना कम-से-कम एक को बेहतर किया जाता है; कुल योग बढ़ना अकेले पर्याप्त नहीं।

4. शून्य-योग खेल, maximin, minimax और saddle point

शून्य-योग में प्रत्येक परिणाम पर दोनों प्रतिफलों का योग शून्य है। A को 5 तो B को −5। एक संख्या वाली तालिका में यदि केवल A का लाभ दिखाया गया है, तो A अधिकतम और B वही संख्या न्यूनतम करना चाहता है। स्थिर-योग में योग एक ही स्थिर संख्या रहता है; वह जरूरी नहीं शून्य हो।

  1. हर पंक्ति का न्यूनतम निकालें; फिर इन न्यूनतमों का अधिकतम = A का maximin।
  2. हर स्तंभ का अधिकतम निकालें; फिर इन अधिकतमों का न्यूनतम = B का minimax।
  3. यदि दोनों बराबर हैं, तो शुद्ध रणनीति saddle point और खेल का मूल्य V मिलता है।
शुद्ध रणनीतियों में maximin ≤ minimax।
Saddle point का खाना: अपनी पंक्ति में न्यूनतम, अपने स्तंभ में अधिकतम।
यदि दोनों बराबर न हों, तो शुद्ध saddle point नहीं; मिश्रित minimax से खेल हल हो सकता है।

फॉन न्यूमैन का minimax प्रमेय: सीमित दो-खिलाड़ी शून्य-योग खेल में मिश्रित रणनीतियाँ शामिल करने पर अधिकतम सुरक्षा-मूल्य और न्यूनतम रोकने-मूल्य बराबर होते हैं। उस साझा मूल्य को V कहते हैं। V ऋणात्मक भी हो सकता है। सामान्य non-zero-sum तालिका में दोनों खिलाड़ियों को एक ही प्रतिफल न्यूनतम/अधिकतम कराना गलत है।

5. मिश्रित रणनीति: संभावना और उदासीनता

शुद्ध रणनीति में किसी एक विकल्प की संभावना 1 है। मिश्रित रणनीति शुद्ध रणनीतियों पर संभावनाओं का वितरण है। U की संभावना p हो, तो D की 1−p; L की q हो, तो R की 1−q। सभी संभावनाएँ 0 से 1 के बीच और उनका योग 1 होना चाहिए।

नैश मिश्रण में सकारात्मक संभावना से चुनी जाने वाली सभी रणनीतियाँ समान अधिकतम अपेक्षित प्रतिफल देती हैं। नहीं चुनी गई रणनीति इससे अधिक प्रतिफल नहीं दे सकती। पूरी तरह मिश्रित 2×2 में A के प्रतिफल बराबर करने से B की q और B के प्रतिफल बराबर करने से A की p निकलती है।

⚠️ याद रखें: आप अपनी संभावना ऐसी चुनते हैं कि दूसरा अपनी प्रयुक्त रणनीतियों के बीच उदासीन हो। p को A के ही प्रतिफल बराबर करके निकालना सबसे आम गलती है। हर मिश्रित संतुलन में हर उपलब्ध रणनीति की संभावना धनात्मक नहीं होती।

2×2 शून्य-योग का सूत्र

A / B; केवल A का प्रतिफल L R
U a b
D c d
Δ = a − b − c + d
p = Prob(A की U) = (d − c)/Δ
q = Prob(B की L) = (d − b)/Δ
V = (ad − bc)/Δ।

सूत्र कब लगाएँ? Δ ≠ 0 हो और निकली p, q वास्तविक संतुलन की संभावनाएँ हों। पहले प्रभुत्व/saddle जाँचें। p या q सीमा के बाहर आए तो वह वैध पूरी तरह मिश्रित संतुलन नहीं; p = 0 या 1 जैसी सीमा पर शुद्ध/आंशिक मिश्रण और सर्वोत्तम प्रतिक्रिया जाँचें। Δ = 0 पर भाग नहीं कर सकते—मूल अपेक्षित प्रतिफल और सीमा-बिंदु से हल करें।

सामान्य दो-प्रतिफल वाले खेल में तरीका

यदि खाने (a,e), (b,f), (c,g), (d,h) हों, तो A की उदासीनता aq + b(1−q) = cq + d(1−q) और B की उदासीनता ep + g(1−p) = fp + h(1−p) है। दोनों के प्रतिफलों को अलग रखते हुए हल करें। शून्य-योग वाला V सूत्र यहां स्वतः नहीं लगेगा।

स्वतंत्र मिश्रणों में A का अपेक्षित प्रतिफल: pq·a + p(1−q)·b + (1−p)q·c + (1−p)(1−q)·d। ये चार संयुक्त संभावनाएँ जोड़ने पर 1 मिलना चाहिए।

शून्य-योग में A का maximin मिश्रणL रेखा 3+p; R रेखा 5−4p। नीचे की सीमा p=0.4 पर अधिकतम 3.4 है।A का लाभ; B कम लाभ वाला स्तंभ चुनेगा012345600.20.40.60.81L: 3+pR: 5−4pp*=0.4, V=3.4p = A द्वारा U चुनने की संभावनाहरी सीमा = min{3+p, 5−4p}; A इसका अधिकतम चुनता है
रेखाओं के नीचे का भाग A का खराबतम प्रतिफल है। p=0.4 पर इसे सबसे अधिक कर सकता है। यह p का ग्राफ है; q अलग उदासीनता से निकालें।

6. क्रमिक खेल: अंत से शुरुआत की ओर सोचें

पश्चगामी आगमन में आखिरी निर्णय-बिंदु पर सर्वोत्तम कार्य चुनें, फिर उसकी जानकारी से पिछले खिलाड़ी का निर्णय निकालें। परिपूर्ण सूचना वाले सीमित खेल में यह उपखेल-पूर्ण नैश संतुलन निकालने की मानक विधि है; बराबरी हो तो कई हल संभव हैं।

उपखेल-पूर्ण नैश संतुलन (SPNE) पूरे खेल के साथ प्रत्येक उपखेल में नैश होना चाहिए, उन उपखेलों में भी जो संतुलन के रास्ते पर वास्तव में नहीं आते। हर SPNE नैश है; हर नैश SPNE नहीं। केवल परिणामी चालों का रास्ता बताना पूरा strategy profile बताना नहीं है।

विश्वसनीय धमकी वही है जिसे जरूरत पड़ने पर करना खिलाड़ी के लिए सर्वोत्तम हो। नई फर्म से “प्रवेश किया तो कीमत युद्ध करूँगा” कहना, यदि प्रवेश के बाद युद्ध से खुद अधिक हानि होगी, विश्वसनीय नहीं है।

प्रवेश खेल और विश्वसनीय निर्णयप्रवेशक बाहर रहे तो 0,4। प्रवेश के बाद पुरानी फर्म युद्ध चुने तो −1,−1, अनुमति दे तो 2,2। उपखेल-पूर्ण मार्ग प्रवेश फिर अनुमति है।अंतिम निर्णय से पीछे लौटेंप्रवेशकपुरानी फर्मबाहरप्रवेशयुद्धअनुमति(0, 4)(−1, −1)(2, 2)प्रतिफल क्रम: (प्रवेशक, पुरानी फर्म) • हरा मार्ग = SPNE
हरे रास्ते से प्रवेश–अनुमति मिलता है। पहले पुरानी फर्म का लाभ देखें, फिर प्रवेशक का।

ग्राफ में पहली संख्या प्रवेशक, दूसरी पुरानी फर्म का प्रतिफल है। प्रवेश होने पर पुरानी फर्म के लिए अनुमति/समायोजन से 2 और युद्ध से −1; इसलिए वह अनुमति चुनेगी। इसे देखते हुए प्रवेशक 2 के लिए प्रवेश करता है, 0 वाले बाहर रहने को छोड़ता है। पूरा SPNE: प्रवेशक प्रवेश करे और पुरानी फर्म प्रवेश होने पर अनुमति दे।

7. पुनरावृत्त खेल: भविष्य का नुकसान धोखा रोक सकता है

एक ही चरण-खेल कई बार खेला जाए तो खिलाड़ी इतिहास के आधार पर आगे के कार्य तय कर सकता है। Grim trigger में सहयोग करते रहें; एक बार धोखा हो तो आगे हमेशा गैर-सहयोग। Tit-for-tat में पहले सहयोग, फिर पिछली अवधि में दूसरे का कार्य दोहराएँ; इसे हर खेल में सर्वोत्तम रणनीति न मानें।

δ छूट गुणांक, 0 ≤ δ < 1 है। पहली अवधि के लाभ को वर्तमान मानें: आज π, अगली अवधि δπ, फिर δ²π। स्थिर प्रति-अवधि लाभ का अनंत वर्तमान मूल्य π/(1−δ) है। πD एक बार धोखा, πC सहयोग और πN दंड/गैर-सहयोग का प्रति-अवधि लाभ हो।

सहयोग: πC/(1−δ)
आज धोखा और आगे दंड: πD + δπN/(1−δ)
यदि πD > πC > πN, तो सहयोग टिकने की शर्त:
δ ≥ (πD − πC)/(πD − πN)।

यह साधारण स्थिर-प्रतिफल, अनंत पुनरावृत्ति, उचित निगरानी और विश्वसनीय दंड का परिणाम है। भविष्य के लाभ का अधिक महत्व सहयोग का प्रोत्साहन बढ़ाता है। यदि जारी रहने की स्वतंत्र संभावना ρ और आर्थिक छूट β हो, तो उपयुक्त अपेक्षित मॉडल में प्रभावी δ = βρ हो सकता है।

⚠️ कठिन जाल: ज्ञात अंतिम अवधि, पूर्ण सूचना और अद्वितीय चरण-खेल नैश वाले मानक सीमित पुनरावृत्त खेल में हर अवधि वही गैर-सहकारी नैश परिणाम मिलता है। चरण-खेल में अनेक संतुलन या अन्य मान्यताएँ होने पर इस निष्कर्ष को यांत्रिक रूप से लागू न करें।

8. Bayesian खेल, विश्वास और NET विस्तार

दूसरे की लागत, क्षमता या पसंद का प्रकार ज्ञात न हो, तो अपूर्ण सूचना है। खिलाड़ी प्रकारों की संभावनाएँ/विश्वास रखकर अपेक्षित प्रतिफल की तुलना करता है। रणनीति बताती है कि प्रत्येक निजी प्रकार क्या करेगा। Bayesian नैश में अन्य की प्रकार-निर्भर रणनीतियाँ और विश्वास दिए होने पर प्रत्येक प्रकार अपनी अपेक्षित उपयोगिता अधिकतम करता है।

यदि मजबूत प्रतिद्वंद्वी की संभावना θ है:
प्रवेश का अपेक्षित लाभ = θ × मजबूत से लाभ + (1−θ) × कमजोर से लाभ।
Bayes नियम: Prob(H|s) = Prob(s|H)Prob(H) / [Prob(s|H)Prob(H) + Prob(s|L)Prob(L)]।

कूर्नो को साथ-साथ मात्रा चुनने का नैश खेल और स्टैकेलबर्ग को नेता–अनुयायी मात्रा का क्रमिक खेल समझें। कूर्नो की प्रतिक्रिया-वक्र दूसरे की मात्रा पर अपनी सर्वोत्तम मात्रा है। स्टैकेलबर्ग का नेता अनुयायी की प्रतिक्रिया अपने निर्णय में शामिल करता है।

अन्य उपयोगी अंतर: cheap talk में संदेश खुद सीधे प्रतिफल नहीं बदलता; संदेश का सूचनात्मक असर हो सकता है। प्रतिबद्धता बाद की स्वतंत्रता घटाकर रणनीतिक असर डाल सकती है। Correlated equilibrium में साझा संकेत के आधार पर कार्य सुझाए जा सकते हैं; यह स्वतंत्र p×q मिश्रण से अलग अवधारणा है। इनका परिचय पर्याप्त है; पहले नैश, मिश्रण और SPNE मजबूत करें।

9. प्रमुख अर्थशास्त्री, वर्ष और मूल प्रकाशन

अर्थशास्त्री/वर्ष प्रकाशन याद रखने की बात
ए. ए. कूर्नो; 1838 Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses साथ-साथ मात्रा का द्वयाधिकार; बाद में नैश के रूप में व्याख्या
हेनरिख फॉन स्टैकेलबर्ग; 1934 Marktform und Gleichgewicht मात्रा-नेता और अनुयायी
जॉन फॉन न्यूमैन; 1928 Zur Theorie der Gesellschaftsspiele; Mathematische Annalen minimax परिणाम का प्रमुख मूल लेख
फॉन न्यूमैन–ऑस्कर मॉर्गनस्टर्न; 1944 Theory of Games and Economic Behavior आधुनिक गेम थ्योरी की प्रमुख पुस्तक
जॉन नैश; 1950 Equilibrium Points in N-Person Games; PNAS नैश संतुलन; 1950 का छोटा लेख
जॉन नैश; 1951 Non-Cooperative Games; Annals of Mathematics असहकारी खेलों का विस्तृत लेख
राइनहार्ड सेल्टेन; 1965 Spieltheoretische Behandlung eines Oligopolmodells mit Nachfrageträgheit; Zeitschrift für die gesamte Staatswissenschaft, भाग I और II उपखेल-पूर्णता का प्रमुख प्रारंभिक योगदान
जॉन सी. हार्सान्यी; 1967–68 Games with Incomplete Information Played by “Bayesian” Players, I–III; Management Science; भाग I: 1967 अपूर्ण सूचना और Bayesian प्रकार

स्मृति कड़ी: 1928 minimax → 1944 पुस्तक → 1950/51 नैश → 1965 उपखेल → 1967/68 निजी प्रकार। नैश के 1950 और 1951 लेख तथा हार्सान्यी के मूल लेख और बाद के पुनर्प्रकाशन को अलग रखें।

10. 18 MCQ और numerical: चरण-दर-चरण हल

नीचे विकल्प पहले पढ़ें और हल करने की कोशिश करें। हर सवाल के बाद उत्तर तथा गणना खुली दी गई है। A की पंक्तियाँ U,D और B के स्तंभ L,R हैं, जब तक अन्य नाम न दिए हों। एक संख्या की payoff matrix में A अधिकतम और B न्यूनतम करने वाला दो-खिलाड़ी शून्य-योग खेल माना गया है।

हल 1: payoff से शुद्ध नैश

पंक्तियाँ A की ऊँची/नीची कीमत और स्तंभ B की ऊँची/नीची कीमत हैं। शुद्ध नैश कौन है?

पंक्तियाँ A; स्तंभ B। खाना (A का लाभ, B का लाभ)।
A / B ऊँची नीची
ऊँची (6, 6) (1, 9)
नीची (9, 1) (3, 3)
  1. (नीची, नीची)
  2. (ऊँची, ऊँची)
  3. (ऊँची, नीची)
  4. (नीची, ऊँची)

सही उत्तर: A — (नीची, नीची)

  1. चरण 1: B ऊँची रखे: A के लिए 9 > 6; B नीची रखे: A के लिए 3 > 1। A दोनों स्थितियों में नीची कीमत चाहता है।
  2. चरण 2: A ऊँची रखे: B के लिए 9 > 6; A नीची रखे: B के लिए 3 > 1। B भी नीची कीमत चाहता है।
  3. चरण 3: दोनों की सर्वोत्तम प्रतिक्रिया (नीची, नीची) में मिलती है; प्रतिफल (3,3)।
  4. चरण 4: दोनों का (6,6) सहयोग बेहतर है, फिर भी अकेले धोखा देने का प्रोत्साहन है। नैश और संयुक्त हित अलग हैं।

हल 2: कड़ाई से प्रभुत्वित पंक्ति

A की नीचे दी गई तीन पंक्तियों में कौन-सी किसी अन्य शुद्ध पंक्ति से कड़ाई से प्रभुत्वित है?

केवल A का शून्य-योग लाभ: A अधिकतम, B न्यूनतम करता है।
A / B L R
ऊपरी 3 1
मध्य 2 0
निचली 1 2
  1. तीनों पंक्तियाँ
  2. मध्य पंक्ति
  3. ऊपरी पंक्ति
  4. निचली पंक्ति

सही उत्तर: B — मध्य पंक्ति

  1. चरण 1: ऊपरी और मध्य की तुलना दोनों स्तंभों में करें: 3 > 2 और 1 > 0।
  2. चरण 2: इसलिए ऊपरी, मध्य को कड़ाई से प्रभुत्वित करती है।
  3. चरण 3: निचली में दाएँ प्रतिफल 2 है, जो ऊपरी के 1 से बड़ा है; निचली को उसी तर्क से न हटाएँ।

हल 3: 3×3 saddle point

A अधिकतम और B न्यूनतम करता है। शुद्ध saddle point तथा V क्या हैं?

केवल A का शून्य-योग लाभ: A अधिकतम, B न्यूनतम करता है।
A / B 1 2 3
1 3 2 4
2 1 0 2
3 4 1 3
  1. पंक्ति 2, स्तंभ 2; V = 0
  2. शुद्ध saddle point नहीं है
  3. पंक्ति 1, स्तंभ 2; V = 2
  4. पंक्ति 3, स्तंभ 1; V = 4

सही उत्तर: C — पंक्ति 1, स्तंभ 2; V = 2

  1. चरण 1: पंक्तियों के न्यूनतम: 2, 0, 1। maximin = max(2,0,1) = 2।
  2. चरण 2: स्तंभों के अधिकतम: 4, 2, 4। minimax = min(4,2,4) = 2।
  3. चरण 3: दोनों समान हैं। पंक्ति 1 और स्तंभ 2 का खाना 2 है; यह अपनी पंक्ति का न्यूनतम और स्तंभ का अधिकतम है।

हल 4: पहले शुद्ध सुरक्षा-मूल्य जाँचें

इस शून्य-योग matrix के शुद्ध maximin और minimax क्रमशः क्या हैं?

केवल A का शून्य-योग लाभ: A अधिकतम, B न्यूनतम करता है।
A / B L R
U 4 1
D 3 5
  1. 1 और 5
  2. 4 और 3
  3. 3 और 3
  4. 3 और 4

सही उत्तर: D — 3 और 4

  1. चरण 1: पंक्ति U का न्यूनतम 1; D का न्यूनतम 3। maximin = 3।
  2. चरण 2: स्तंभ L का अधिकतम 4; R का अधिकतम 5। minimax = 4।
  3. चरण 3: 3 < 4, इसलिए शुद्ध saddle नहीं। मिश्रित खेल का V इन दोनों के बीच होगा।

हल 5: पूरा मिश्रित हल: p, q और V

इसी matrix में p = Prob(A की U), q = Prob(B की L)। मिश्रित संतुलन क्या है?

केवल A का शून्य-योग लाभ: A अधिकतम, B न्यूनतम करता है।
A / B L R
U 4 1
D 3 5
  1. p = 2/5, q = 4/5, V = 17/5
  2. p = 4/5, q = 2/5, V = 17/5
  3. p = 1/2, q = 1/2, V = 13/4
  4. p = 2/5, q = 4/5, V = 3

सही उत्तर: A — p = 2/5, q = 4/5, V = 17/5

  1. चरण 1: A को उदासीन करें: U का लाभ 4q + 1(1−q) = 1 + 3q; D का 3q + 5(1−q) = 5 − 2q। बराबर करने पर 5q = 4, अतः q = 4/5।
  2. चरण 2: B के दोनों स्तंभों में A का अपेक्षित लाभ बराबर करें: L पर 4p + 3(1−p) = 3+p; R पर p+5(1−p) = 5−4p। 3+p = 5−4p ⇒ p = 2/5।
  3. चरण 3: V = 3 + 2/5 = 17/5 = 3.4। दूसरे स्तंभ में 5 − 4×2/5 = 17/5; जाँच सफल।
  4. चरण 4: पूरक संभावनाएँ: A की D = 3/5 और B की R = 1/5। सभी [0,1] में हैं और प्रत्येक खिलाड़ी की संभावनाएँ जोड़ने पर 1।

हल 6: ऋणात्मक payoff भी इसी तरह

दिए शून्य-योग matrix में p, q और V क्या हैं?

केवल A का शून्य-योग लाभ: A अधिकतम, B न्यूनतम करता है।
A / B L R
U -1 -4
D -3 0
  1. p = 1/3, q = 1/2, V = −3
  2. p = 1/2, q = 2/3, V = −2
  3. p = 2/3, q = 1/2, V = −2
  4. p = 1/2, q = 2/3, V = 2

सही उत्तर: B — p = 1/2, q = 2/3, V = −2

  1. चरण 1: Δ = −1 − (−4) − (−3) + 0 = 6।
  2. चरण 2: p = [0−(−3)]/6 = 1/2; q = [0−(−4)]/6 = 2/3।
  3. चरण 3: V = [(−1)×0 − (−4)×(−3)]/6 = −12/6 = −2।
  4. चरण 4: जाँच: L पर −3 + 2p = −2; R पर −4p = −2। V ऋणात्मक होने में कोई गणितीय समस्या नहीं।

हल 7: सामान्य non-zero-sum में मिश्रण

p = Prob(A की U), q = Prob(B की L)। पूरी तरह मिश्रित नैश का p,q क्या है?

पंक्तियाँ A; स्तंभ B। खाना (A का लाभ, B का लाभ)।
A / B L R
U (2, 0) (0, 3)
D (0, 1) (1, 0)
  1. p = 3/4, q = 2/3
  2. p = 1/2, q = 1/2
  3. p = 1/4, q = 1/3
  4. p = 1/3, q = 1/4

सही उत्तर: C — p = 1/4, q = 1/3

  1. चरण 1: A के प्रतिफल से q: U = 2q; D = 1−q। 2q = 1−q ⇒ q = 1/3।
  2. चरण 2: B के प्रतिफल से p: L = 1−p; R = 3p। 1−p = 3p ⇒ p = 1/4।
  3. चरण 3: A का संतुलन अपेक्षित लाभ 2/3; B का 3/4। दोनों अलग हैं; शून्य-योग का साझा V यहां लागू नहीं।
  4. चरण 4: A को q और B को p उदासीन बनाते हैं; पूरे payoff जोड़े का योग हर खाने में स्थिर नहीं।

हल 8: coordination में कई संतुलन

नीचे खेल में शुद्ध नैश तथा पूरी तरह मिश्रित नैश के p,q का सही कथन चुनें।

पंक्तियाँ A; स्तंभ B। खाना (A का लाभ, B का लाभ)।
A / B L R
U (4, 2) (0, 0)
D (0, 0) (2, 4)
  1. केवल (U,L); p = q = 1/2
  2. कोई शुद्ध नैश नहीं; p = 1/3, q = 2/3
  3. शुद्ध (U,R),(D,L); p = 2/3, q = 1/3
  4. शुद्ध (U,L),(D,R); मिश्रित p = 2/3, q = 1/3

सही उत्तर: D — शुद्ध (U,L),(D,R); मिश्रित p = 2/3, q = 1/3

  1. चरण 1: L के सामने A को U; R के सामने D। U के सामने B को L; D के सामने R। इसलिए दो शुद्ध नैश (U,L) और (D,R)।
  2. चरण 2: A को उदासीन करें: 4q = 2(1−q) ⇒ q = 1/3।
  3. चरण 3: B को उदासीन करें: 2p = 4(1−p) ⇒ p = 2/3।
  4. चरण 4: यह तीसरा नैश संतुलन मिश्रित है। शुद्ध नैश होने से मिश्रित संतुलन समाप्त नहीं होता।

हल 9: दिए p,q पर अपेक्षित लाभ

A के प्रतिफल matrix में स्वतंत्र p = 1/4 और q = 3/5 दिए हैं। A का अपेक्षित लाभ कितना है?

केवल A का शून्य-योग लाभ: A अधिकतम, B न्यूनतम करता है।
A / B L R
U 8 0
D 2 4
  1. 33/10
  2. 3
  3. 18/5
  4. 13/4

सही उत्तर: A — 33/10

  1. चरण 1: चार संयुक्त संभावनाएँ: pq = 3/20; p(1−q) = 1/10; (1−p)q = 9/20; (1−p)(1−q) = 3/10। योग 1 है।
  2. चरण 2: प्रत्येक संभावना को संबंधित लाभ से गुणा करें: (3/20)×8 + (1/10)×0 + (9/20)×2 + (3/10)×4।
  3. चरण 3: योग = 6/5 + 0 + 9/10 + 6/5 = 33/10 = 3.3।
  4. चरण 4: यह केवल दी गई रणनीतियों का अपेक्षित लाभ है; प्रश्न ने इन p,q को नैश नहीं कहा है।

हल 10: धमकी, नैश और SPNE

ऊपर दिए प्रवेश के वृक्ष में बाहर रहने पर (0,4), प्रवेश–युद्ध पर (−1,−1), प्रवेश–अनुमति पर (2,2) हैं। कौन-सा पूरा strategy profile SPNE है?

  1. बाहर; प्रवेश होने पर अनुमति
  2. प्रवेश; प्रवेश होने पर अनुमति
  3. बाहर; प्रवेश होने पर युद्ध
  4. प्रवेश; प्रवेश होने पर युद्ध

सही उत्तर: B — प्रवेश; प्रवेश होने पर अनुमति

  1. चरण 1: अंतिम निर्णय पर पुरानी फर्म का प्रतिफल तुलना करें: अनुमति 2 > युद्ध −1। इसलिए उस उपखेल में अनुमति।
  2. चरण 2: इसे जानते हुए प्रवेशक को प्रवेश से 2 और बाहर से 0; इसलिए प्रवेश।
  3. चरण 3: पूरा SPNE = (प्रवेश, प्रवेश होने पर अनुमति)। पुराने खिलाड़ी की योजना प्रवेश न हो तब भी परिभाषित है।
  4. चरण 4: (बाहर, युद्ध की योजना) शुद्ध नैश हो सकता है, क्योंकि बाहर रहने पर पुरानी फर्म की दोनों योजनाएँ समान प्रतिफल देती हैं। मगर युद्ध की धमकी उपखेल में सर्वोत्तम नहीं; इसलिए वह SPNE नहीं।

हल 11: कूर्नो: प्रतिक्रिया से नैश

P = 100 − Q, Q = q₁+q₂; दोनों की MC = 10 और स्थिर लागत शून्य। साथ-साथ मात्रा वाले सममित कूर्नो संतुलन में q₁,q₂,P क्या हैं?

  1. 22.5, 22.5, 55
  2. 45, 45, 10
  3. 30, 30, 40
  4. 45, 22.5, 32.5

सही उत्तर: C — 30, 30, 40

  1. चरण 1: फर्म 1 का लाभ π₁ = (90−q₁−q₂)q₁। अपनी q₁ के अनुसार अवकलज 90−2q₁−q₂ = 0।
  2. चरण 2: प्रतिक्रिया q₁ = (90−q₂)/2; फर्म 2 की q₂ = (90−q₁)/2।
  3. चरण 3: सममिति से q₁ = q₂ = q: 3q = 90 ⇒ प्रत्येक 30। कुल Q = 60; P = 100−60 = 40।
  4. चरण 4: दूसरी मात्रा 30 दी हो तो अपनी सर्वोत्तम मात्रा भी 30। प्रत्येक का लाभ (40−10)×30 = 900।

हल 12: स्टैकेलबर्ग: अनुयायी से शुरुआत

उसी P = 100 − Q और MC = 10 में नेता पहले मात्रा की प्रतिबद्धता करता है। अनुयायी बाद में प्रतिक्रिया देता है। नेता और अनुयायी की मात्रा क्या हैं?

  1. 30 और 30
  2. 22.5 और 45
  3. 45 और 45
  4. 45 और 22.5

सही उत्तर: D — 45 और 22.5

  1. चरण 1: पहले अनुयायी: qF = (90−qL)/2।
  2. चरण 2: नेता के लाभ में रखें: πL = [90−qL−(90−qL)/2]qL = 45qL − qL²/2।
  3. चरण 3: अवकलज 45−qL = 0 ⇒ qL = 45। दूसरा अवकलज −1, इसलिए अधिकतम।
  4. चरण 4: qF = (90−45)/2 = 22.5। Q = 67.5 और P = 32.5। नेता ने अनुयायी की प्रतिक्रिया को पहले से शामिल किया।

हल 13: grim trigger का न्यूनतम δ

अनंत पुनरावृत्ति में πC = 8, πD = 14 और πN = 5 हैं। परिपूर्ण निगरानी और विश्वसनीय दंड में सहयोग टिकने के लिए न्यूनतम δ क्या है?

  1. 2/3
  2. 1/3
  3. 3/4
  4. 1/2

सही उत्तर: A — 2/3

  1. चरण 1: सहयोग का वर्तमान मूल्य = 8/(1−δ)।
  2. चरण 2: आज धोखा, कल से दंड = 14 + 5δ/(1−δ)।
  3. चरण 3: 8 ≥ 14(1−δ)+5δ = 14−9δ ⇒ 9δ ≥ 6 ⇒ δ ≥ 2/3।
  4. चरण 4: δ = 2/3 पर दोनों मूल्य 24 हैं: सहयोग 8/(1/3) = 24; धोखा 14 + (2/3)×5/(1/3) = 24।

हल 14: वर्तमान मूल्य से सीधे जाँच

πC = 6, πD = 10, πN = 2 और δ = 3/4 हैं। grim trigger में सहयोग का PV और एक बार धोखे का PV क्या हैं?

  1. 16 और 24
  2. 24 और 16
  3. 18 और 12
  4. 24 और 18

सही उत्तर: B — 24 और 16

  1. चरण 1: सहयोग = 6/(1−3/4) = 6/(1/4) = 24।
  2. चरण 2: दंड का भविष्य PV = (3/4)×2/(1/4) = 6।
  3. चरण 3: धोखे का कुल PV = आज 10 + भविष्य 6 = 16।
  4. चरण 4: 24 > 16, इसलिए इन मान्यताओं में एक बार धोखा लाभकारी नहीं। दंड को आज से जोड़ने पर गलत उत्तर आएगा।

हल 15: ज्ञात अंतिम अवधि

पूर्ण सूचना में कैदी की दुविधा ठीक चार अवधियों तक दोहराई जाती है; अंतिम अवधि सबको ज्ञात है और चरण-खेल का अद्वितीय नैश गैर-सहयोग है। SPNE में क्या होगा?

  1. हर अवधि सहयोग
  2. केवल पहली में गैर-सहयोग
  3. हर अवधि गैर-सहयोग
  4. पहली तीन में सहयोग, चौथी में गैर-सहयोग

सही उत्तर: C — हर अवधि गैर-सहयोग

  1. चरण 1: चौथी अवधि के बाद भविष्य नहीं; दोनों चरण-खेल का गैर-सहयोग नैश चुनते हैं।
  2. चरण 2: तीसरी अवधि का कार्य चौथी के निश्चित परिणाम को बदल नहीं सकता; तीसरी में भी गैर-सहयोग।
  3. चरण 3: इसी तर्क को दूसरी और पहली अवधि पर पीछे ले जाएँ। चारों में गैर-सहयोग।
  4. चरण 4: यह निष्कर्ष अद्वितीय चरण-खेल नैश और दी गई सूचना/अंतिम अवधि की शर्तों पर है।

हल 16: निजी प्रकार पर अपेक्षित लाभ

दिए गए प्रतिद्वंद्वी के प्रकार-निर्भर व्यवहार के सामने मजबूत प्रकार की संभावना 1/4 है। प्रवेश पर मजबूत से −6, कमजोर से 4 और बाहर रहने पर 0 मिलता है। सर्वोत्तम प्रतिक्रिया क्या है?

  1. बाहर; प्रवेश का अपेक्षित लाभ −2
  2. प्रवेश; अपेक्षित लाभ 5/2
  3. उदासीन; अपेक्षित लाभ 0
  4. प्रवेश; अपेक्षित लाभ 3/2

सही उत्तर: D — प्रवेश; अपेक्षित लाभ 3/2

  1. चरण 1: मजबूत की संभावना 1/4, कमजोर की 3/4।
  2. चरण 2: प्रवेश का अपेक्षित लाभ = (1/4)(−6) + (3/4)(4) = −3/2 + 3 = 3/2।
  3. चरण 3: बाहर रहने का 0; इसलिए प्रवेश बेहतर।
  4. चरण 4: यह अन्य खिलाड़ी का व्यवहार दिया होने पर Bayesian सर्वोत्तम प्रतिक्रिया है; अकेली यह गणना पूरा Bayesian नैश सिद्ध नहीं करती।

हल 17: संकेत के बाद Bayes नियम

Prob(H)=1/3, Prob(L)=2/3; Prob(s|H)=3/4 और Prob(s|L)=1/4। संकेत s देखने पर Prob(H|s) कितना है?

  1. 3/5
  2. 1/3
  3. 3/4
  4. 2/5

सही उत्तर: A — 3/5

  1. चरण 1: H और s की संयुक्त संभावना = (1/3)×(3/4) = 1/4।
  2. चरण 2: L और s की संयुक्त संभावना = (2/3)×(1/4) = 1/6।
  3. चरण 3: संकेत s की कुल संभावना = 1/4 + 1/6 = 5/12।
  4. चरण 4: Posterior = (1/4)/(5/12) = 3/5। मूल prior 1/3 को संकेत के बाद बिना बदले इस्तेमाल न करें।

हल 18: मिश्रण से कड़ा प्रभुत्व

A की दी गई तीन पंक्तियों में T को कौन कड़ाई से प्रभुत्वित करता है?

केवल A का शून्य-योग लाभ: A अधिकतम, B न्यूनतम करता है।
A / B L R
U 4 0
D 0 4
T 1 1
  1. कोई शुद्ध या मिश्रित रणनीति नहीं
  2. U और D का 1/2–1/2 मिश्रण
  3. अकेली U
  4. अकेली D

सही उत्तर: B — U और D का 1/2–1/2 मिश्रण

  1. चरण 1: अकेली U दाएँ 0 देती है, जो T के 1 से कम है। अकेली D बाएँ 0 देती है; दोनों अलग-अलग प्रभुत्वित नहीं करतीं।
  2. चरण 2: U,D का आधा-आधा मिश्रण बाएँ 2 और दाएँ 2 का अपेक्षित प्रतिफल देता है।
  3. चरण 3: दोनों स्तंभों में 2 > 1; इसलिए यह मिश्रण T को कड़ाई से प्रभुत्वित करता है।
  4. चरण 4: प्रभुत्व जाँचते समय मिश्रित विकल्पों को भी देखना बड़े matrix में उपयोगी है।

11. अंतिम पुनरावृत्ति और प्रश्न हल करने की विधि

सवाल में संकेत क्या करें? गलती से बचें
दो प्रतिफल (A,B) A के लिए पहली, B के लिए दूसरी संख्या दोनों को एक ही संख्या न दें
शुद्ध नैश A: स्तंभ में; B: पंक्ति में सर्वोत्तम प्रतिक्रिया बराबरी पर दोनों चिन्हित करें
शून्य-योग, एक matrix पंक्ति न्यूनतम→अधिकतम; स्तंभ अधिकतम→न्यूनतम सामान्य खेल में minimax यांत्रिक न लगाएँ
पूरी तरह मिश्रित 2×2 दूसरे को उदासीन करें; p,q और V की जाँच p,q के खिलाड़ी उलट न दें; सीमा जाँचें
क्रमिक खेल अंत से शुरू; हर उपखेल में सर्वोत्तम निर्णय गैर-विश्वसनीय धमकी को SPNE न मानें
Repeated grim trigger सहयोग PV बनाम धोखा + दंड PV दंड कल से है तो δ लगाएँ
Bayesian प्रकारों के अनुसार अपेक्षित लाभ/विश्वास नया संकेत मिले तो posterior निकालें
⭐ MCQ का पाँच-कदम क्रम: (1) खेल का प्रकार → (2) payoff की दिशा → (3) प्रभुत्व/शुद्ध संतुलन → (4) आवश्यक गणना → (5) हर खिलाड़ी की अकेले विचलन और सभी संभावनाओं की जाँच।

पहली पुनरावृत्ति: स्वयं उदाहरण 1, 3, 5 और 10 दोबारा हल करें। अगली: mixed और repeated के सूत्र बिना देखे लिखें। अंतिम: नीचे का 100 MCQ टेस्ट चार भागों में हल करें; गलत उत्तर का कारण भी लिखें।

अपनी तैयारी चेक करें – गेम थ्योरी के 100 MCQs हल करें →

25 आसान + 25 मध्यम + 25 कठिन + 25 अत्यंत कठिन; उत्तर और व्याख्या खोलकर जाँचें।

मूल संदर्भ

सभी उदाहरण मौलिक शिक्षण सामग्री हैं। इन्हें सत्यापित आधिकारिक PYQ नहीं कहा गया है। अवधारणाओं और मूल प्रकाशन-वर्षों के संदर्भ:

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