UGC NET ECONOMICS · UNIT 4 · JUNE 2025
Mathematical Economics PYQs
गणितीय अर्थशास्त्र
29 June 2025 · Shift II / 29 जून 2025 · द्वितीय पाली
Constrained optimisation
प्रतिबंध के अंतर्गत इष्टतमीकरण
Question 31 / प्रश्न 31
June 2025 · PDF page 368 / PDF पृष्ठ 368
If U = 6x² + y² and 4x − y = 1, what is the value of U?
U = 6x² + y² और 4x − y = 1 हो तो U का value क्या है?
(a) 4/15
(b) 3/11
(c) 3/16
(d) 4/21
Answer & Explanation / उत्तर और व्याख्या
उत्तर: Question में unique value नहीं; b केवल unrestricted minimum है
Formula: Completing the square under an equality constraint. Use: Find the minimum of the positive quadratic after substituting y.
Formula: Equality constraint में completing the square। उपयोग: y substitute करके positive quadratic की minimum value निकालना।
The unrestricted minimum is 3/11 at x = 2/11 and y = −3/11. But the printed question never specifies minimisation: x = 0 gives U = 1 and x = 1 gives U = 15, so the constraint alone cannot identify U.
Unrestricted minimum x = 2/11 और y = −3/11 पर 3/11 है। लेकिन printed question में minimisation नहीं कहा है: x = 0 पर U = 1 और x = 1 पर U = 15 मिलता है; केवल constraint से U fixed नहीं है।
If x and y must be nonnegative quantities, the unrestricted solution is infeasible. Then the minimum is 3/8 at x = 1/4 and y = 0, and there is no finite maximum on the feasible ray.
यदि x और y nonnegative quantities हों तो unrestricted solution feasible नहीं। तब minimum x = 1/4 और y = 0 पर 3/8 है और feasible ray पर finite maximum नहीं है।
Integration and applications
समाकलन और उसके अनुप्रयोग
Question 46 / प्रश्न 46
June 2025 · PDF page 371 / PDF पृष्ठ 371
Integrate ∫[(x + 3)/(x + 5)] dx.
∫[(x + 3)/(x + 5)] dx integrate करें।
(a) x²/2 − 2 ln|x + 5| + C
(b) x²/2 + 2 ln|x + 5| + C
(c) x + 2 ln|x + 5| + C
(d) x − 2 ln|x + 5| + C
Answer & Explanation / उत्तर और व्याख्या
उत्तर: d — x − 2 ln|x + 5| + C
Formula: Algebraic division and the logarithmic integral. Use: Rewrite the rational expression before integrating.
Formula: Algebraic division और logarithmic integral। उपयोग: Rational expression को पहले simplify करके integrate करना।
Check by differentiating: 1 − 2/(x + 5) = (x + 3)/(x + 5). The antiderivative is valid on intervals that do not cross x = −5; keep the absolute value in the logarithm.
Differentiate करके check करें: 1 − 2/(x + 5) = (x + 3)/(x + 5)। Antiderivative उन intervals पर valid है जो x = −5 को cross नहीं करते; logarithm में absolute value रखें।
Question 67 / प्रश्न 67
June 2025 · PDF page 377 / PDF पृष्ठ 377
Evaluate ∫ from 1 to 2 of e⁻²ˣ dx.
1 से 2 तक ∫e⁻²ˣ dx evaluate करें।
(a) e⁻² − e⁻⁴
(b) −(e⁻² − e⁻⁴)/2
(c) (e⁻² − e⁻⁴)/2
(d) (e⁻² + e⁻⁴)/2
Answer & Explanation / उत्तर और व्याख्या
उत्तर: c — (e⁻² − e⁻⁴)/2
Formula: Definite integral of an exponential. Use: Integrate first and then subtract the lower bound value from the upper bound value.
Formula: Exponential का definite integral। उपयोग: पहले integrate करें, फिर upper bound value में से lower bound value घटाएँ।
The integrand is positive, so the definite integral must be positive. Since e⁻² exceeds e⁻⁴, option (c) has the correct sign.
Integrand positive है, इसलिए definite integral भी positive होगा। e⁻² > e⁻⁴ होने से option (c) का sign सही है।
Question 71 / प्रश्न 71
June 2025 · PDF page 378 / PDF पृष्ठ 378
Match the improper integrals in List I with List II.
Improper integrals को उनके values से match करें। Printed limits को ध्यान से पढ़ें।
| List I as printed Printed सूची I |
List II सूची II |
|---|---|
| A ∫0∞ 1/(1 + x²) dx | I Does not exist Integral converge नहीं करता |
| B ∫1∞ 1/√x dx | II 1/3 |
| C ∫∞−1 1/x⁴ dx | III π/2 |
| D ∫∞∞ 1/(1 + x²) dx | IV π |
(a) A I B II C IV D III
(b) A IV B I C II D III
(c) A III B I C II D IV
(d) A II B III C IV D I
Answer & Explanation / उत्तर और व्याख्या
उत्तर: Printed limits में कोई exact option नहीं; missing minus signs जोड़ने पर c
A is π/2 because arctan(x) tends to π/2 at positive infinity. B diverges: ∫₁ᴿ x⁻¹ᐟ² dx = 2(√R − 1), which grows without bound.
A = π/2 है क्योंकि positive infinity पर arctan(x) का limit π/2 है। B diverge करता है: ∫₁ᴿ x⁻¹ᐟ² dx = 2(√R − 1), जो बिना bound बढ़ता है।
C is printed with lower limit +∞ and upper −1. That path crosses x = 0, where 1/x⁴ has a nonintegrable singularity. D prints +∞ at both limits, which does not define the intended whole real line integral.
C में lower limit +∞ और upper −1 छपा है। यह x = 0 को cross करता है, जहाँ 1/x⁴ की nonintegrable singularity है। D में दोनों limits +∞ हैं; इससे intended whole real line integral define नहीं होता।
Formula: Improper integral limits. Use: Evaluate the intended corrected negative half line and whole line integrals.
Formula: Improper integral की limits। उपयोग: Intended corrected negative half line और whole line integrals evaluate करना।
With those two lower limits corrected to −∞, the matching becomes A III B I C II D IV, option (c). Do not apply an antiderivative across the singularity at zero to the literal printed C.
दोनों lower limits −∞ करने पर matching A III B I C II D IV यानी option (c) बनती है। Literal printed C में zero की singularity को cross करके antiderivative formula न लगाएँ।
Question 74 / प्रश्न 74
June 2025 · PDF page 379 / PDF पृष्ठ 379
If investment is I(t) = 12t¹ᐟ³ and K(0) = 25, find the time path of capital.
Investment flow I(t) = 12t¹ᐟ³ और initial capital K(0) = 25 हो तो capital का time path निकालें।
(a) 16t⁴ᐟ³ + 25
(b) 9t⁴ᐟ³ + 25
(c) −9t⁴ᐟ³ + 25
(d) −16t⁴ᐟ³ + 25
Answer & Explanation / उत्तर और व्याख्या
उत्तर: b — K(t) = 9t⁴ᐟ³ + 25
Formula: Capital accumulation by integrating investment. Use: Recover a stock from its continuous flow, with no depreciation term specified.
Formula: Investment integrate करके capital accumulation। उपयोग: Depreciation term न दिया होने पर continuous flow से stock निकालना।
The power rises from 1/3 to 4/3 and dividing 12 by 4/3 gives 9. Check both conditions: K(0) = 25 and dK/dt = 12t¹ᐟ³. Do not use the discrete difference Kt − Kt−1 as an exact derivative identity.
Power 1/3 से 4/3 होती है और 12 को 4/3 से divide करने पर 9 मिलता है। दोनों conditions check करें: K(0) = 25 और dK/dt = 12t¹ᐟ³। Discrete difference Kt − Kt−1 को exact derivative identity न मानें।